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Beispiel zur Partialbruchzerlegung als Integrationsmethode:

Wir erläutern diese Methode anhand eines Beispiels: Gesucht ist die Stammfunktion von

 x5
x3 − 5x2 + 8x − 4		  .

Der Zähler ist vom Grad 5, der Nenner vom Grad 3. Für große x verhält sich dieser Bruch wie ein Polynom vom Grad 2 (nämlich x2 − um das einzusehen, lassen Sie alle Terme des Zählers bis auf jenen mit der höchsten Potenz weg).

Zuerst wird "dividiert", d.h. wir wollen den gegebenen Term in der Form

p(x)   +    q(x)
x3 − 5x2 + 8x − 4		  

schreiben, wobei p ein Polynom vom Grad 2 ist (damit das Verhalten im Unendlichen stimmt) und q ein Polynom von einem Grad kleiner als 3. Es kann als "Rest" der Division aufgefasst werden. Wir können für diese beiden Polynome einen Ansatz mit unbestimmten Koeffizienten machen, dem gegebenen Term gleichsetzen, beide Seiten mit dem Nenner multiplizieren und einen Koeffizientenvergleich durchführen, um die Koeffizienten zu bestimmen. Wir rechnen das nicht vor, sondern schreiben nur die (eindeutige) Lösung hin:

x2 + 5x + 17   +    49x2 − 116x + 68
x3 − 5x2 + 8x − 4		  .

Die ersten drei Terme können ohne Probleme integriert werden. Auf den verbleibenden Bruch wird nun das eigentliche Verfahren der Partialbruchzerlegung angewandt. Sein Nenner kann als

(x − 1) (x − 2)2

geschrieben werden, besitzt also bei x = 1 und x = 2 Nullstellen. Die Zerlegung des Bruches in "Partialbrüche" ist die Darstellung

 49x2 − 116x + 68
x3 − 5x2 + 8x − 4		   =    a
x − 1		   +    b
x − 2		   +    c
(x − 2)2		  .

Es lässt sich zeigen, dass eine Zerlegung dieser Art immer existiert, wenn der Nenner ein Produkt aus Linearfaktoren ist.
Beachten Sie, dass der Nullstelle x = 2 des Nenners zwei Beiträge gewidmet sind. Warum der Term mit (x − 2)2 im Nenner auf jeden Fall vorhanden sein muss, ergibt sich aus dem Verhalten der gegebenen Funktion in der Nähe der Stelle x = 2: Es handelt sich um einen Pol zweiter Ordnung. (Im Kapitel Funktionen 2 haben wir über Pole und ihre Ordnungen gesprochen).
Nachdem beide Seiten mit dem gemeinsamen Nenner (x − 1) (x − 2)2 multipliziert werden, kann wieder ein Koeffizientenvergleich durchgeführt werden, und die Konstanten ergeben sich zu

a = 1,  b = 48  und  c = 32.

Damit ist das Problem gelöst. Fassen wir alles zusammen, so nimmt der gegebene Ausdruck die Form

 49x2 − 116x + 68
x3 − 5x2 + 8x − 4		   =  x2 + 5x + 17 +     1
x − 1		   +    48
x − 2		   +    32
(x − 2)2		  

an. Für jeden der sechs Summanden ist die Stammfunktion bekannt, daher auch jene der gesamten Funktion. (Berechnen Sie sie zur Übung selbst!)

Dieses Online-Werkzeug des MathServ Project


(englisch: partial fraction expansion) führt die Partialbruchzerlegung für Funktionen Ihrer Wahl durch (integriert aber nicht). Geben Sie beispielsweise für die soeben durchgerechnete Aufgabe als Zähler (numerator) x^5 und als Nenner (denominator) x^3 - 5x^2 + 8x - 4 ein.

Nachbemerkung: Bei der Partialbruchzerlegung einer rationalen Funktion können auch Dinge passieren, die in diesem Beispiel nicht vorkommen. So ist es möglich, dass der Nenner nicht nur Linearfaktoren enthält, sondern auch quadratische Faktoren wie x2 + 1, die keine reelle Nullstelle besitzen. In diesem Fall bekommt jeder solche Faktor (und gegebenenfalls seine Potenzen, wenn er mehrfach auftritt) einen eigenen Beitrag in der Zerlegung. Wir verzichten auf eine systematische und vollständige Darstellung aller Fälle, die eintreten können.