Größere Schriftzeichen   

Spezielle Beispiele für Ebenen:

Hier können Sie sich anhand einfacher Beispiele darauf einstimmen, aus der rechnerischen Beschreibung von Ebenen durch Gleichungen auf deren Lage zu schließen.

Drei spezielle Ebenen spielen im Koordinatensystem eine besondere Rolle. Sie sind Ihnen sicher schon begegnet. Hier eine Liste ihrer Gleichungen und Normalvektoren. Sie stellen eine gute Gelegenheit dar, sich zu verdeutlichen, in welchem Sinn eine Ebenengleichung eine Ebene beschreibt und wie ihr Normalvektor mit ihrer Lage zusammenhängt:

Ebenengleichung
Normalvektor
Beschreibung
z  =  0 (0, 0, 1) xy-Ebene
y  =  0 (0, 1, 0) xz-Ebene
x  =  0 (1, 0, 0) yz-Ebene

Hier einige weitere Ebenen, deren Lage sich nicht allzu schwer erschließen läßt:

Ebenengleichung
Normalvektor
Beschreibung/Aufgabe
z  =  1 (0, 0, 1) Ebene parallel zur xy-Ebene. Sie befindet sich im Koordinatensystem in der "Höhe" 1.
y  =  −3 (0, 1, 0) Ebene parallel zur xz-Ebene. Versuchen Sie, sich vorzustellen, wo genau sie sich befindet!
x  =  2 (1, 0, 0) Ebene parallel zur yz-Ebene. Versuchen Sie, sich vorzustellen, wo genau sie sich befindet!

Gehen wir einen Schritt weiter und betrachten Ebenen, deren Normalvektoren nicht parallel zu einer Achse sind:

Ebenengleichung
Normalvektor
Beschreibung/Aufgabe
x − y  =  0 (1, −1, 0) "Senkrecht stehende" Ebene (in der die z-Achse liegt). Sie schneidet die xy-Ebene in der ersten Mediane, d.h. der Geraden mit der (vom Standpunkt der xy-Ebene aus betrachteten) Gleichung y  =  x. Versuchen Sie, sich vorzustellen, wo genau sie sich befindet!
x + y  =  2 (1, 1, 0) "Senkrecht stehende" Ebene (die mit der z-Achse keinen Schnittpunkt besitzt). Sie schneidet die xy-Ebene in der Geraden mit der (vom Standpunkt der xy-Ebene aus betrachteten) Gleichung x + y  =  2. Versuchen Sie, sich vorzustellen, wo genau sie sich befindet!
x + 2z  =  3 (1, 0, 2) Ebene, die mit der y-Achse keinen Schnittpunkt besitzt. Sie schneidet die xz-Ebene in der Geraden mit der (vom Standpunkt der xz-Ebene aus betrachteten) Gleichung x + 2z  =  3. Versuchen Sie, sich vorzustellen, wo genau sie sich befindet!

Ein letztes Beispiel:

Ebenengleichung
Normalvektor
Beschreibung/Aufgabe
x + y + z  =  1 (1, 1, 1) Ebene, auf der die Punkte (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (0, 0, 1) liegen. Versuchen Sie, sich vorzustellen, wo genau sie sich befindet und wie ihre Lage mit ihrem Normalvektor zusammenhängt!