Satz: Die Menge aller Punkte der Zeichenebene mit Koordinaten
(x, y),
die die Gleichung
x2 + y2 =
1
(3)
erfüllen, ist ein Kreis mit Radius 1, dessen Mittelpunkt der Ursprung ist
(der so genannte Einheitskreis).
Beweis: Jeder Punkt mit Koordinaten
(x, y),
die die Gleichung (3) erfüllen, hat vom Ursprung den Abstand
1. Um das einzusehen, betrachen Sie die
nachfolgende Skizze
und wenden den Satz von Pythagoras auf das gelb unterlegte
(rechtwinkelige) Dreieck an: Der mit r
bezeichnete Abstand des Punktes (x, y)
vom Ursprung ist die Länge der Hypotenuse, und es gilt
r2 = x2 + y2 = 1,
wobei wir beim zweiten Gleichheitszeichen die Voraussetzung (3)
benutzt haben. Daher ist, wie behauptet, r = 1.
Diese Argumentation kann auch angewandt werden, wenn x und/oder
y negativ sind, da die Vorzeichen beim Übergang zu den
Quadraten x2 und
y2 wegfallen. In dieser
Skizze
sind x und
y negativ, d.h. die Kathetenlängen des
gelben Dreiecks sind −x und
−y, und es
gilt ebenfalls
r2 = x2 + y2 = 1.
Damit ist bewiesen, dass jeder Punkt, dessen Koordinaten die Gleichung (3)
erfüllen, auf dem Einheitskreis liegt.
Umgekehrt gilt für jeden Punkt (x, y)
auf dem Einheitsreis aus genau demselben Grund (dem Satz von Pythagoras)
die Gleichung (3).
Damit ist bewiesen, dass die Menge
k = { (x, y) | x2 + y2 = 1 }
der Einheitskreis ist. Aus der Argumentation des Beweises lernen wir, dass die Kreisgleichung (3) nichts anderes als den
Satz von Pythagoras ausdrückt.
