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Hyperbel- und Areafunktionen:

Die Hyperbelfunktionen Sinus Hyperbolicus, Cosinus Hyperbolicus, Tangens Hyperbolicus und Cotangens Hyperbolius sind definiert als:
sinh x
=
1
2
  ( ex − e−x )
cosh x
=
1
2
  ( ex + e−x )
tanh x
=
sinh x
cosh x
coth x
=
cosh x
sinh x
Nicht nur ihre Namen erinnern an die Winkelfunktionen. So gilt die Identität

cosh2x  −  sinh2x   =   1      ∀x ∈ R,

in Analogie zu cos2x + sin2x  =  1.

Die Inversen der Hyperbelfunktionen sind die so genannten Areafunktionen (Arcus Sinus Hyperbolicus usw). Sie können durch den natürlichen Logarithmus ausgedrückt werden:
 
asinh x
=
ln ( x + (x2 + 1)1/2 )
acosh x
=
ln ( x + (x2 − 1)1/2 )        definiert für x ≥ 1
atanh x
=
1
2
   ln 1 + x
1 − x
                     definiert für |x| < 1
acoth x
=
1
2
   ln x + 1
x − 1
                     definiert für |x| > 1