Die Funktionen
sin(x)
und
cos(x)
besitzen die Periode 2π, da
sin(x + 2π) =
sin(x)
(1)
cos(x + 2π) =
cos(x)
(2)
gilt. Es ist dies die Periode der "Grundschwingung". Die Funktionen
sin(2x)
und
cos(2x)
(die der "ersten Oberschwingung" entsprechen) besitzen die Periode
π
(also die Hälfte der Periode der Grundschwingung), da wir mit Hilfe von (1) und (2)
sin(2(x + π)) =
sin(2x + 2π) =
sin(2x)
cos(2(x + π)) =
cos(2x + 2π) =
cos(2x)
finden.
Nun gilt ganz allgemein:
Besitzt eine Funktion f
die Periode L,
so sind auch
2L,
3L,
4L, usw. Perioden von
f.
Der formale Beweis dieser Aussage ist ganz leicht, denn aus
f (x + L) = f (x)
für alle reellen Zahlen x
folgt
f (x + 2L) =
f (x + L + L) =
f (x + L) =
f (x)
für alle x.
(Beachten Sie, dass in der zweiten Gleichheit x + L
als jene Stelle betrachtet wurde, die um L
vermehrt wird). Daher ist auch 2L
eine Periode von f. Ganz analog
funktioniert der Beweis für alle anderen Vielfachen, also für
3L,
4L usw.
Da die Funktionen
sin(2x)
und
cos(2x)
die Periode π besitzen, besitzen sie folglich
auch die Periode 2π, d.h. die Periode
der Grundschwingung.
Die Funktionen
sin(3x)
und
cos(3x)
besitzen die Periode
2π/3 (also ein Drittel der Periode der Grundschwingung), denn
sin(3(x + 2π/3)) =
sin(3x + 2π) =
sin(3x)
cos(3(x + 2π/2)) =
cos(3x + 2π) =
cos(3x).
Daher besitzen sie auch die dreifache Periode
3·2π/3 = 2π, also ebenfalls
jene der Grundschwingung. Analoge Eigenschaften treffen auch auf alle weiteren Funktionen der Form
sin(nx)
und
cos(nx)
zu.
Diese Sachverhalte können wir anhand der Graphen der trigonometrischen Basisfunktionen
und
auch geometrisch verstehen: Die Graphen der höheren "Oberschwingungen" sind einfach in
x-Richtung "zusammengestauchte" Versionen
der Graphen von
sin(x)
und
cos(x).
Daher besitzen
sin(nx)
und
cos(nx)
die Periode
2π/n (also ein n-tel der Periode der Grundschwingung),
und damit auch deren n-faches, also die Periode der Grundschwingung,
2π.
(Die konstante Funktion 1 besitzt jede positive Zahl als
Periode, also ebenfalls 2π).
Wir können die Angelegenheit auch so betrachten:
Die Beziehung
f (x + L) = f (x)
für alle x
bedeutet, dass der Graph von f in sich selbst übergeht,
wenn er um L nach links verschoben wird.
Die Beziehung
f (x + 2L) = f (x)
für alle x
bedeutet, dass der Graph von f in sich selbst übergeht,
wenn er um 2L nach links verschoben wird.
Die Beziehung
f (x + 3L) = f (x)
für alle x
bedeutet, dass der Graph von f in sich selbst übergeht,
wenn er um 3L nach links verschoben wird.
Wenn nun beispielsweise der Graph der Funktion
sin(3x)
(zweite Abbildung, grün gestrichelt), die ja innerhalb einer
Periode 2π der Grundschwingung
drei volle Schwingungen ausführt,
um 2π/3 (ein Drittel der Periode der Grundschwingung)
oder um 2·2π/3
(zwei Drittel der Periode der Grundschwingung)
oder um 3·2π/3
(drei Drittel der Periode der Grundschwingung, also gleich dieser)
nach links verschoben wird, geht er in all diesen Fällen in sich selbst über.
Der Begriff der Periode kann übrigens auch auf negative Zahlen ausgedehnt werden:
Besitzt eine Funktion f
die Periode L,
so gilt
f (x – L) = f (x)
für alle x.
Zum Beweis betrachten wir nun x – L
als jene Stelle, die um L
vermehrt wird:
f (x – L) =
f (x – L + L) =
f (x)
für alle x.
Auch das kann geometrisch verstanden werden:
Die Beziehung
f (x + L) = f (x)
für alle x
bedeutet, dass der Graph von f in sich selbst übergeht,
wenn er um L nach links verschoben wird.
Die Beziehung
f (x – L) = f (x)
für alle x
bedeutet, dass der Graph von f in sich selbst übergeht,
wenn er um L nach rechts verschoben wird.
Die beiden Beziehungen sind also gleichwertig!
Daraus folgt
sin(x – 2π) =
sin(x)
cos(x – 2π) =
cos(x)
und entsprechende Identitäten für alle anderen trigonometrischen Basisfunktionen.
