Die Beweise benötigen die Definitionen der Hyperbelfunktionen, wie im
Kapitel Funktionen 2
besprochen, und die ebenfalls dort erwähnte Beziehung
cosh2x
−
sinh2x
= 1
für alle x ∈ R.
Wir führen die Rechnung für den Sinus Hyperbolicus vor:
sinh'(x) =
1
2
(
ex
− e−x
)
'
=
1
2
(
ex
+ e−x
) = cosh x.
Die Ableitung des Cosinus Hyperbolicus kann ganz analog berechnet werden.
Die Behandlung des Tangens Hyperbolicus und des Cotangens Hyperbolicus
erfordert die Anwendung der Quotientenregel (13) und funktioniert ganz ähnlich
wie für die Tangens- und Cotangensfunktion.
Führen Sie diese Rechnungen zur Übung selbst durch!