Die Beweise funktionieren ganz ähnlich wie jene für die inversen Winkelfunktionen,
unter Verwendung der Ableitungsregel (15).
Hier in Stichworten die Vorgangsweise für den Arcus Sinus Hyperbolicus:
Zusammenhang zwischen x und f :
x = sinh f.
Funktion:
f(x) = asinh x.
Inverse Funktion:
x( f ) = sinh f.
Ableitung der inversen Funktion:
x'( f ) = sinh'( f )
= cosh f.
Gesuchte Ableitung:
asinh'(x)
= 1/cosh f
= (1 + x2)−1/2.
Im letzten Schritt wurde die Identität
cosh2f
−
sinh2f
= 1
und die Tatsache, dass cosh f
für alle f positiv ist, verwendet.
Führen Sie die verbleibenden Rechnungen
zur Übung selbst durch!
Nachbemerkung: Da die Areafunktionen
durch den natürlichen Logarithmus
ausgedrückt werden können, ist auch eine direkte Berechnung ihrer Ableitungen
möglich, in der das Wechselspiel zwischen Funktion und ihrer Inversen
wegfällt. Dabei muss die
(als nächstes zu besprechende) Ableitungsregel (24)
verwendet werden.