Beweis von (21)

Beweis von (21):

(e^x) ^' = e^x

(21)

Wir gehen aus vom Differenzenquotienten

e^{x
+ ε} − e^x

e^ε − 1

e^x .

Beachten Sie die Struktur dieses Ausdrucks: Er ist das Produkt aus einem nur von ε abhängenden Term mit e^x, d.h. dem Funktionsterm selbst! Vom Grenzübergang ε → 0 ist nur der erste Faktor betroffen. Führen wir die Abkürzung

c =		e^ε − 1 ε
	lim
	ε → 0

ein, so ergibt sich:

(e^x) ^' = c e^x .

Die Ableitung (e^x) ^' ist daher ein Vielfaches von e^x. Die Bedeutung der Proportionalitätskonstante c wird klar, wenn wir auf der rechten Seite dieser Beziehung x = 0 setzen (und bedenken, dass e⁰ = 1 ist): c ist die Ableitung an der Stelle x = 0. Um (21) zu beweisen, müssen wir also nur mehr zeigen, dass c = 1 ist, d.h. dass die Exponentialfunktion x → e^x an der Stelle 0 die Ableitung 1 hat.

Dazu erinnern wir uns, wie wir die Eulersche Zahl e im Kapitel Exponentialfunktion und Logarithmus eingeführt haben (sehen Sie sich insbesondere

die dortige Graphik zwischen den Formeln (14) und (15),
das Applet "Zur Definition der Eulerschen Zahl e"
und den zugehörigen "Exkurs zur Zahl e"

an): Unsere Argumentation war von einem strengen mathematischen Gesichtspunkt aus betrachtet ein bisschen schlampig, aber die Grundidee − die auch einer genaueren Überprüfung standhält − war, e als jene Zahl zu definieren, für die der Graph der linearen Funktion x → 1 + x (eine Gerade mit Anstieg 1) die Tangente an den Graphen von x → e^x im Punkt (0, 1) ist ! Damit haben wir das fehlende Glied in unserem Beweis: Es gilt c = 1, daher

	e^ε − 1 ε	= 1.
lim
ε → 0

Nachbemerkung: Formel (21) offenbart die wahre Bedeutung der Zahl e. Unter allen Funktionen x → a^x mit beliebigen reellen Basen a ist x → e^x die einzige, die mit ihrer Ableitung identisch ist!

Wir können diese bemerkenswerte Eigenschaft auch so formulieren: Es gibt nur eine einzige auf der Menge der reellen Zahlen definierte differenzierbare Funktion f, für die die beiden Aussagen

f '(x) = f(x) für alle reellen x
f(0) = 1

zutreffen, und zwar
f(x) = e^x.
Die Zahl e kann dann als f(1) definiert werden. Von diesem Standpunkt aus betrachtet, erscheint die Eulersche Zahl als ein sehr "natürliches" mathematisches Objekt.