Steigungen in der Landschaft

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Steigungen in der Landschaft:

Stellen wir uns einen Funktionsgraphen als Straße vor, die in einer Landschaft auf- und abführt, so lässt sich schön illustrieren, wie Eigenschaften eines Graphen mit der Ableitung zusammenhängen:

Unterhalb des Straßenverlaufs ist, in einem eigenen Diagramm, die Steigung der Straße in jedem Punkt dargestellt, wodurch sich eine zweite Kurve ergibt. Sehen Sie sich die Diagramme genau an und versuchen Sie, die Details des zweiten aus den Eigenschaften des ersten zu verstehen:

Wo die Straße ihren niedrigsten Punkt hat, hat die Steigung den Wert 0%, d.h. "für einen Augenblick" ist das Auto, wenn es diesen Punkt passiert, in horizontaler Stellung, und das gleiche gilt für den Berggipfel, über den die Straße führt. Diese beiden Punkte sind genau jene, in denen Bereiche negativer und positiver Steigung aneinander grenzen.
Irgendwo dazwischen gibt es einen Punkt, in dem die Steigung der Straße maximal ist (in diesem Beispiel 90%). Dementsprechend hat die zweite Kurve dort einen "Gipfel" − es ist aber kein Gipfel in der Landschaft, sondern, wenn man so will, ein "Steigungs-Gipfel".

Hier sehen Sie nun dieselben Kurven wie oben, nur mit den in der Mathematik üblichen Bezeichnungen:

Monotoniebereiche anzeigen

Die erste Kurve ist der Graph der Funktion f, die zweite Kurve ist der Graph der Ableitungsfunktion f '. Sehen Sie sich auch diese beiden Diagramme genau an und versuchen Sie, nachzuvollziehen, wie ihre Details miteinander zusammenhängen:

Zwei besondere Punkte des Graphen von f fallen ins Auge: an einem ist f minimal (ein Tiefpunkt), am anderen ist f maximal (ein Hochpunkt). An den entsprechenden Punkten besitzt f ' Nullstellen.
Mit Hilfe des blauen Links rechts unterhalb der Graphik können Sie eine Anzeige der Monotoniebereiche von f an- und abschalten. (Monotonie haben wir im Kapitel Funktionen 1 besprochen). Überzeugen Sie sich:
Die Bereiche, in denen f streng monoton fällt (wächst), sich gerade jene, in denen die Ableitung negativ (positiv) ist.
Jener Punkt, in dem der Graph von f am steilsten ist, heißt Wendepunkt. Da dort die Ableitung von f maximal ist (in diesem Beispiel 0.9), entspricht er einem Hochpunkt von f '. Mit freiem Auge ist seine Lage aus der unteren Kurve besser zu bestimmen als aus der oberen!

Aus diesem Beispiel können wir bereits erahnen: Ist eine Funktion f gegeben, so ist in deren Ableitungsfunktion wertvolle Information über f enthalten. Sie gibt uns Auskunft über Maxima und Mimina (die gemeinsam als "Extrema" bezeichnet werden), über das Monotonieverhalten und darüber, wo der Graph am steilsten ist.