Beispiele für Extrema und Sattelstellen

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Beispiele für Extrema und Sattelstellen:

Beispiel 1:
Gegeben sei die Funktion f(x) = x² - x³. Man bestimme lokale Extrema und Sattelpunkte!
Lösungsweg durch Vergleich einzelner Funktionswerte:
Die Funktion ist für alle reellen Zahlen definiert und überall differenzierbar. Die Ableitung ist f '(x) = 2x - 3x². Die Gleichung f '(x) = 0 lautet
2x - 3x² = 0.
Ihre Lösungen sind x = 0 und x = 2/3. Das sind die einzigen Kandidaten für lokale Extrema und Sattelstellen. Die Funktionswerte an diesen Stellen sind
- f(0) = 0
- f(2/3) = 4/27.
Um zu sehen, ob diese Stellen Extrema sind, benötigen wir weitere Vergleichswerte. Wir wählen
- f(-1) = 2
- f(0) = 0
- f(1/3) = 2/27
- f(2/3) = 4/27
- f(1) = 0,
wobei die hervorgehobenen Werte den Kandidatenstellen entsprechen. Jetzt können wir letztere genauer bestimmen:
- Die Stelle x = 0: Beide in der obigen Liste vertretenen Nachbarstellen haben größere Funktionswerte. Es handelt sich daher um eine lokale Minimumstelle.
- Die Stelle x = 2/3: Beide in der obigen Liste vertretenen Nachbarstellen haben kleinere Funktionswerte. Es handelt sich daher um eine lokale Maximumstelle.
Aus dem gegebenen Funktionsterm ergibt sich, dass f(x) im Unendlichen nicht beschränkt ist: Für x ® ¥ ist sie negativ, ihr Betrag wird beliebig groß. Für x ® -¥ wird sie beliebig groß. (Das folgt daraus, dass der am stärksten wachsende Beitrag der x³-Anteil ist, d.h. eine ungerade Potenz hat. Sie können aber auch beispielsweise x = ±1000 einsetzen, um das einzusehen). Beide lokalen Extremstellen sind daher keine globalen Extremstellen. (Die Funktion besitzt keine globalen Extremstellen).

Sehen Sie sich den Graphen der Funktion (z.B. mit dem Funktionsplotter) an!
Beispiel 2:
Gegeben sei die Funktion f(x) = 4x³ - 3x⁴. Man bestimme lokale Extrema und Sattelpunkte!
Lösungsweg durch Vergleich einzelner Funktionswerte:
Die Funktion ist für alle reellen Zahlen definiert und überall differenzierbar. Die Ableitung ist f '(x) = 12x² - 12x³. Die Gleichung f '(x) = 0 lautet
12x² - 12x³ = 0.
Ihre Lösungen sind x = 0 und x = 1. Das sind die einzigen Kandidaten für lokale Extrema und Sattelstellen. Die Funktionswerte an diesen Stellen sind
- f(0) = 0
- f(1) = 1.
Um zu sehen, ob diese Stellen Extrema sind, benötigen wir weitere Vergleichswerte. Wir wählen
- f(-1) = -7
- f(0) = 0
- f(1/2) = 5/16
- f(1) = 1
- f(2) = -16,
wobei die hervorgehobenen Werte den Kandidatenstellen entsprechen. Jetzt können wir letztere genauer bestimmen:
- Die Stelle x = 0: Unter den in der obigen Liste vertretenen Nachstellen gibt es eine mit einem größeren und eine mit einem kleineren Funktionswert. Es handelt sich daher nicht um ein lokales Extremum, sondern um eine Sattelstelle.
- Die Stelle x = 1: Beide in der obigen Liste vertretenen Nachbarstellen haben kleinere Funktionswerte. Es handelt sich daher um eine lokale Maximumstelle. Die Funktion besitzt keine globale Minimumstelle.
Aus dem gegebenen Funktionsterm ergibt sich, dass f(x) im Unendlichen nach oben beschränkt ist: Für x ® ¥ und für x ® -¥ ist sie negativ, ihr Betrag wird beliebig groß. (Das folgt daraus, dass der am stärksten wachsende Beitrag der x⁴-Anteil ist, d.h. eine gerade Potenz hat, und mit einem negativen Koeffizienten eingeht. Sie können aber auch beispielsweise x = ±1000 einsetzen, um das einzusehen). Bei x = 1 handelt es sich daher sogar um eine globale Maximumstelle - nirgends sonst ist der Funktionswert so groß wie hier.

Sehen Sie sich den Graphen der Funktion (z.B. mit dem Funktionsplotter) an!
Beispiel 3:
Wir betrachten denselben Funktionsterm wie in Beispiel 2 oben, f(x) = 4x³ - 3x⁴, allerdings jetzt im Intervall -1/2 £ x £ 3/2. Man bestimme die lokalen und globalen Extrema!
Lösungsweg durch Vergleich einzelner Funktionswerte:
Wir haben oben bereits gezeigt, dass die Funktion, wenn sie auf der Menge der reellen Zahlen betrachtet wird, nur ein einziges lokales Extremum besitzt, nämlich eine lokale Maximumstelle bei x = 1. Sie liegt innerhalb des nun betrachteten Intervalls [-1/2, 3/2], muss daher berücksichtigt werden. An Vergleichswerten benötigen wir auch die Funktionswerte an den Rändern des Intervalls:
- f(-1/2) = -11/16
- f(1) = 1
- f(3/2) = -27/16,
wobei der hervorgehobenen Wert dem lokalen Maximum entspricht. Daraus ergibt sich ganz klar:
- Die Stelle x = -1/2 ist eine lokale Minimumstelle.
- Die Stelle x = 1 ist eine lokale Maximumstelle und gleichzeitig die (einzige) globale Maximumstelle.
- Die Stelle x = 3/2 ist eine lokale Minimumstelle und gleichzeitig die (einzige) globale Minimumstelle.
Beispiel 4:
Wir betrachten wieder denselben Funktionsterm wie in Beispiel 2 oben, f(x) = 4x³ - 3x⁴, allerdings jetzt im offenen Intervall -1/2 < x < 3/2. Man bestimme die lokalen und globalen Extrema!
Lösungsweg durch Vergleich einzelner Funktionswerte:
Wir benutzen die Resultate des zuvor behandelten Beispiels 3. Da die Stelle x = -1/2 nicht zum betrachteten Intervall (-1/2, 3/2) gehört, kann sie keine lokale Minimumstelle sein. Die Funktionswerte innerhalb des Intervalls kommen zwar in der Nähe der unteren Intervallgrenze der Zahl f(-1/2) = -11/16 (von oben) beliebig nahe, erreichen sie aber nie. Analoges gilt für die Stelle x = 3/2. Sehen Sie sich den Graphen der Funktion (z.B. mit dem Funktionsplotter) nochmals an, bedenken Sie aber jetzt die Einschränkung des Definitionsbereichs!

Daher ergibt sich als Lösung:
- Die Stelle x = 1 ist eine lokale Maximumstelle und gleichzeitig die (einzige) globale Maximumstelle.
- Die Funktion besitzt im Intervall (-1/2, 3/2) weder ein lokales noch eine globales Minimum.
Aus den letzten beiden Beispielen lernen wir, dass wir bei der Einschränkung einer Funktion auf ein Intervall aufpassen müssen: Ob eine Randstelle eine (lokale oder globale) Extremstelle sein kann, hängt davon ab, ob sie zum Intervall gehört oder nicht. Über offene, abgeschlossene und halboffene Intervalle haben wir im Kapitel Zahlen gesprochen.