Basics

Kreuze die richtige(n) Aussage(n) an!

o bezeichne den Nullvektor des jeweiligen Vektrorraums

1. Seien a,b aus dem R² = V.
   Dann gilt:
   Falls a und b nicht linear abhängig sind, dann bilden a und b eine Basis von V.
2. Seien a,b aus dem R³ = V.
   Dann gilt:
   a und b sind linear unabhängig genau dann, wenn a und b eine Basis von V bilden.
3. Ist o ein Element einer Menge von Vektoren (Anzahl > 1), so ist diese Menge keine Basis.
4. Die Dimension des von o aufgespannten Vektorraums ist 1.
5. Basisvektoren sind nie linear abhängig
6. Es gibt eine Basis, die o enthält.
7. Die Anzahl der Basisvektoren gibt die Dimension des Raumes an, den sie aufspannen
   
8. Die lineare Hülle von o ist {o}.
9. Ist eine Menge von Vektoren eine Basis eines Vektorraums ( ungleich {o}) , so ist der Nullvektor nicht in dieser Menge enthalten.

Basics

Kreuze die richtige(n) Aussage(n) an!

V sei ein Vektorraum

1. Bei einer Basis kann man Vektoren so ersetzen, dass man wieder eine Basis erhält.
2. Es kann nicht immer eine Obermenge O von linear unabhängigen Vektoren gefunden werden, die linear unabhängig ist.
3. Eine beliebige Menge linear unabhängiger Vektoren kann nicht immer zu einer Basis von V ergänzt werden.
4. Zwei Basen eines Vektorraumes müssen keine gemeinsamen Vektoren haben.
5. 1 ist eine Basis der reellen Zahlen.
6. Fügt man zu einer Basis weitere Vektoren hinzu, so ist diese Menge auf keinen Fall mehr eine Basis.
7. Die reellen Zahlen haben 0 als Basis..

Vektorräume und Dimensionen

Kreuze die richtige(n) Aussage(n) an!

1. Die Menge {0,1} ist ein Körper, wobei 0 das neutrale Element der Multiplikation und 1 das neutrale Element der Addition ist..
2. Die Menge { a + i*b | a,b aus Q} ist (mit den üblichen Rechenregeln) ein Vektorraum über Q.
3. Der Vektorraum {a+b*2^(0.5) | a,b aus Q } ist ein zweidimensionaler Vektorraum über Q.
4. C ist ein dreidimensionaler Vektrorraum über R.
5. Jeder Körper ist über sich selbst ein Vektorraum
6. Für die Definition eines Vektorraums benötigt man keinen Körper.
7. C ist ein eindimensionaler Vektorraum über R.
8. Der Vektorraum {a+b*2^(0.5) | a,b aus Q } ist ein zweidimensionaler Vektorraum über R.