1. Definition

Wir betrachten die Funktion F(x,y) in der Umgebung U eines Punktes ( ) und bilden den Grenzwert . Wenn dieser Grenzwert existiert, nennt man ihn die partielle Ableitung der Funktion F(x,y) nach x im Punkte  und schreibt  = | .

Graphisch lässt sich dies im Falle einer zweiwertigen Funktion sehr schön an einer Oberfläche F(x,y) im R³, entlang einer Grid-Linie, z.B. F( ) und der anliegenden Tangente darstellen.

>	f:=(x,y)->-(x^(1/2)*y^3);

>	with(plots):

>	A:=plot3d(f(x,y),x=2..3,y=0..3,title=`Oberfläche mit Grid-Linie und Tangente`):

>

a:=2.5:

>	B:=spacecurve([a,t,f(a,t)],t=0..3,colour='blue',thickness=3):

>	f1:=unapply(diff(f(x,y),y),(x,y));

>	C:=spacecurve([a,t,f1(a,2)*(t-2)+f(a,2)],t=0..3,colour='red',thickness=3):

>	display3d(A,B,C,axes=FRAME);

Man sieht hier die Oberfläche im Raum mit der blauen Grid-Linie und der Tangente an die Linie im Punkte ( ) Die partielle Ableitung in diesem Falle nach y im Punkte ist dann der Anstieg der Tangente an diese Grid-Linie.

Man kann die partiellen Ableitungen von f(x,y) nach allen Variablen bilden.

>	f_nach_x:=diff(f(x,y), x);

>	f_nach_y:=diff(f(x,y), y);

Man sieht, das Differenzieren erfolgt rein technisch nach der Regel, das nur eine der unabhängigen Variablen als veränderlich gesetzt wird, nach ihr wird differenziert, die anderen Variablen werden in diesem Fall als Konstanten angesehen.

Aufgabe:

Leiten Sie folgende Funktion partiell nach x, bzw. y ab:    

2. Partielle Ableitungen höherer Ordnung

Als Ergebnis der partiellen Ableitung erhalten wir in der Regel wiederum Funktionen von mehreren Variablen, die man wiederum ableiten kann. Man definiert also die n-te partielle Ableitung einer Funktion als die partielle Ableitung der (n-1)-ten Ableitung.

Es treten nun auch sogenannte gemischte Ableitungen auf, bei denen einmal nach x, dann nach y abgeleitet, bzw. in der anderen Reihenfolge, z.B.:

>	g:=(x,y)->x^2*y^3+y*ln(x);

>	diff(g(x,y),x);# 1.partielle Ableitung nach x

>	diff(g(x,y),x$2); # 2. partielle Ableitung nach x

>	diff(g(x,y),y); # 1. partielle Ableitung nach y

>	diff(g(x,y),y$2); # 2. partielle Ableitung nach y

>	diff(diff(g(x,y),x),y); # 2. partielle Ableitung zuerst nach x und dann nach y

>	diff(diff(g(x,y),y),x); # 2. partielle Ableitung zuerst nach y und danach nach x

Die Frage ist, ob die partiellen gemischten Ableitungen immer unabhängig von der Reihenfolge der Variablen, nach denen abgeleitet wird.

d.h. ob     immer gilt ?

Betrachen wir folgende Funktion:

>	g:=(x,y)->piecewise(x<>0 and y<>0,x*y*(x^2-y^2)/(x^2+y^2),otherwise,0);

>	gx:=diff(g(x,y),x);

>	gx := y*(x^4-y^4+4*x^2*y^2)/((x^2+y^2)^2);

>	gx:=(x,y)->y*(x^4-y^4+4*x^2*y^2)/((x^2+y^2)^2);

Dies ist die erste Ableitung von g nach x. Man beachte aber, dass =0. Bilden wir nun die 1.partielle Ableitung nach y

>	gy:=diff(g(x,y),y);

>	gy := x*(x^4-y^4-4*x^2*y^2)/((x^2+y^2)^2);

>	gy:=(x,y)->x*(x^4-y^4-4*x^2*y^2)/( (x^2+y^2)^2);

Die erste Ableitung von g nach y, aber auch hier gilt =0

Somit ist die Ableitung  im Punkte (0,0) nach Definition

>	limit((gx(0,y)-0)/y, y=0);

Aber die Ableitung  hat den Wert

>	limit((gy(x,0)-0)/x,x=0);

Man sieht  also, dass die partiellen Ableitungen nicht immer vertauschbar sind.

Theorem (von Schwarz):

Für jede zweimal partiell stetig ableitbare  Funktion f(x,y) gilt

 =

3. Gradient

Der Gradient ist eine vektorwertige Funktion, die jedem n-Tupel aus  genau einen Vektor mit n Komponenten zuordnet.

grad f( ,..., ) =

>	with(linalg):

>	f:=(x,y,z)->exp(x+2*y)+2*x*sin(z)+z^2*x*y;

>	GRAD_f:=grad(f(x,y,z),[x,y,z]);

>

>