Zwei Vektoren sind genau dann linear
abhängig, wenn sie kollinear sind, oder anders
gesagt: wenn zwei Vektoren parallel zueinander sind, dann sind sie linear
abhängig, und wenn sie nicht
parallel zu einander sind, dann sind sie linear unabhängig.
Bemerkungen
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Es wird festgelegt: Der Nullvektor ist zu jedem Vektor
parallel.
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Zwei (oder mehrere) Vektoren sind genau dann kollinear, wenn
sie (bei gleichem Anfangspunkt) auf einer Geraden liegen.
Vektoren nennt man komplanar,
wenn sie in einer Ebene liegen.
Drei Vektoren sind genau dann linear
abhängig, wenn sie komplanar sind.
Bemerkungen
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Es wird festgelegt: Der Nullvektor ist zu jeder Ebene
parallel.
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Zwei (oder mehrere) Vektoren sind genau dann komplanar, wenn
sie bei gleichem Anfangspunkt in einer Ebene liegen.
Vier Vektoren im R3 (oder
drei Vektoren im R2 ) sind immer linear abhängig.
Beispiel für Lineare Abhängigkeit
Gegeben seien die zwei Vektoren v und
w:
Wie man sieht, kann man mit ihnen
außer der trivialen Nullsumme 0
= 0*v+0*w auch eine nichttriviale Nullsumme
0 = v + (-3)*w
bilden:
Somit sind die beiden Vektoren v
und w linear abhängig.
Beispiel für Lineare Unabhängigkeit
Gegeben seien die zwei Vektoren v
und w:
Wie man sieht kann man mit ihnen keine
Nullsumme bilden, (außer der trivialen Nullsumme, die man ja
immer bilden kann). Somit sind die beiden Vektoren v und w linear
unabhängig.
Ist eine Menge {a, b,
...} linear abhängiger Vektorengegeben, so kann mindestens ein
Vektor als Linearkombination der anderen Vektoren ausgedrückt werden.
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