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Lineare Abhängigkeit von Vektoren

 

Andreas Pester
Fachhochschule Techikum Kärnten, Villach
pester@cti.ac.at
 

Zusammenfassung: In diesem Abschnitt wird die lineare Abhängigkeit von Vektoren definiert und an Beispielen erläutert

Stichworte: Definition | Beispiel für lineare Abhängigkeit | Beispiel für lineare Unabhängigkeit

 
 
Definition


Zwei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sie kollinear sind, oder anders gesagt: wenn zwei Vektoren parallel zueinander sind, dann sind sie linear abhängig, und wenn sie nicht parallel zu einander sind, dann sind sie linear unabhängig.


vak3s0p1.pcx (2722 Byte)

Bemerkungen

  1. Es wird festgelegt: Der Nullvektor ist zu jedem Vektor parallel.

  2. Zwei (oder mehrere) Vektoren sind genau dann kollinear, wenn sie (bei gleichem Anfangspunkt) auf einer Geraden liegen.

Vektoren nennt man komplanar, wenn sie in einer Ebene liegen.

Drei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sie komplanar sind.


vak3s0p2.pcx (7012 Byte)

Bemerkungen

  1. Es wird festgelegt: Der Nullvektor ist zu jeder Ebene parallel.

  2. Zwei (oder mehrere) Vektoren sind genau dann komplanar, wenn sie bei gleichem Anfangspunkt in einer Ebene liegen.

Vier Vektoren im R3 (oder drei Vektoren im R2 ) sind immer linear abhängig.


 

Beispiel für Lineare Abhängigkeit


Gegeben seien die zwei Vektoren v und w:

 vak3s5p2.pcx (1969 Byte)

Wie man sieht, kann man mit ihnen außer der trivialen Nullsumme 0 = 0*v+0*w auch eine nichttriviale Nullsumme

0 = v + (-3)*w bilden:

 vak3s5p3.pcx (2247 Byte)

 Somit sind die beiden Vektoren v und w linear abhängig.


 

Beispiel für Lineare Unabhängigkeit


Gegeben seien die zwei Vektoren v und w:

 vak3s5p1.pcx (2156 Byte)

Wie man sieht kann man mit ihnen keine Nullsumme bilden, (außer der trivialen Nullsumme, die man ja immer bilden kann). Somit sind die beiden Vektoren v und w linear unabhängig.

Ist eine Menge {a, b, ...} linear abhängiger Vektorengegeben, so kann mindestens ein Vektor als Linearkombination der anderen Vektoren ausgedrückt werden.


 

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