Es gibt keine Notwendigkeit, Vektoren nur als Objekte im zwei- oder dreidimensionalen Raum zu betrachten. Dies ergab sich anfangs aus der vorrangigen Anwendung von Vektoren in der Geometrie und Physik.

Schon aus der Einführung der Matrizenrechnung und der Betrachtung von Vektoren als einspaltige oder einreihige Matrix ergab sich in natürlicherweise ein Übergang zur allgemeinen Dimension n. Viele aus der Vektorrechnung bekannte Operationen (bis auf das Kreuz- und Spatprodukt) ordnen sich nahtlos in die Matrizenrechnung ein.

Die Informatik und die digitale Signalverarbeitung schufen zusätzliche Anreize, die Vektorrechnung für den Rⁿ zu entwickeln.

Vektoraddition und -subtraktion wurden unabhängig vom betrachteten Raum eingeführt, ebenso die Begriffe Betrag eines Vektors, Winkel, normierter Vektor, lineare Unabhängigkeit von Vektoren, Linearkombination von Vektoren sowie Multiplikation eines Vektors mit einer skalaren Grösse. Deshalb müssen sie nicht neu definiert werden.

Der Begriff des Skalarprodukts von zwei Vektoren u und v aus Rⁿ  kann koordinatenunabhängig ebenso definiert werden wie für 2- oder 3-dimensionale Räume, als u·v = |u|·|v|·cos(a).

Geht man zu einer Koordinatendarstellung von Vektoren über, so kann das Skalarprodukt zweier Vektoren so definiert werden: