Dies sind die Basis-Vektoren der diskreten
Wavelet-Transformation (DWT) im vierdimensionalen Raum. Unter Wavelets versteht
man "kleine" Wellen. Sie haben unterschiedliche Länge und sind an
unterschiedlichen Plätzen plaziert. Nur der erste Vektor ist eigentlich
kein Wavelet, sondern ein flacher Vektor (für den Hintergrund). Die
Wavelet-Transformation hat Ähnlichkeiten mit der Fourier-TRansformation
Die Wavelet-Basisvektoren sind orthogonal, aber
nicht orthonormiert. w3 ist in der ersten Hälfte des
Raumes plaziert, w4 in der zweiten Hälfte des Raumes, c3
enthält Informationen über die erste Hälfte von v, c4
über die zweite Hälfte von v.
Die Wavelet-Basis wird eingesetzt um diskrete Signale, die
als Vektoren im Rn (n=2m - Breite des
Eingangssignals) aufgefasst werden, zu koprimieren. Realistisch ist ein n
über 10.000, aber zur Demonstration wählen wir n = 4. Ca. 5 % der größten
Koeffizienten bleiben bei einer derartigen Transformation (lossless)
übrig. Den Kompressionsteil stellen wir hier nicht dar, da er wesentlich
über den Bereich der Mathematik hinausgeht.
Es sei v = (6 2 5 -1)T . Damit die neuen Koordinaten
c berechnet werden können, stellen wir zuerst v in der
neuen Basis dar:

c = W-1·v. Man muss
also die inverse von W bestimmen. Dazu erinnern wir uns, dass die Spalten von W
orthogonale Vektoren sind. Man kann also schreiben W-1 = W-1·(WT)-1·WT
= (WT·W)-1·WT. Der erste Faktor ist eine
Diagonalmatrix, die sehr einfach zu invertieren ist. Der zweite Faktor, die
transponierte Matrix WT, lässt sich ebenfalls leicht bilden. Man
erhält: