Basiswechsel Andreas Pester
Fachhochschule Techikum
Kärnten, Villach
pester@cti.ac.at
Zusammenfassung: In
diesem Abschnitt wird der Übergang mittels Matrizenmultiplikationvon einer Basis
im Vektorraum zu einer anderen erläutert
Sehr oft werden spezielle Basen für den Rn für bestimmte Probleme eingeführt. In dieser Darstellung bekommen Vektoren und Matrizen die Information, die das Problem klarer darstellt. Dafür muss man Vektoren und Matrizen aus der Darstellung in der einen Basis in die Darstellung in der gewünschten Basis umrechnen.
Angenommen, die Ausgangsbasis besteht aus den n linear unabhängigen Vektoren w1, w2, ..., w3 aus dem Rn. Jeder Vektor v aus Rn kann als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden.
v hat dann in der Standardbasis und der Basis von w die Koordinaten:
Unter der Standardbasis von Rn versteht man die Spalten der Einheitsmatrix In. Aus (1) folgt die Darstellung:
v = W·c (2)
W ist die Matrix, die entsteht, wenn man die w-Vektoren als Spalten der Matrix W auffasst. Da diese Vektoren linear unabhängig sind (s. Definition einer Vektorbasis), hat W eine inverse Matrix W-1 . Somit folgt aus (2):
c = W-1·v (3)
Dies beschreibt den Basiswechsel. Die Koordinaten c = (c1,c2, ...,cn) eines Vektors c in der w-Basis werden durch (3) berechnet. Die Matrix zur Berechnung des Basiswechsels W-1 ist die inverse Matrix der Basismatrix W.