Sehr oft werden spezielle Basen für den Rn für
bestimmte Probleme eingeführt. In dieser Darstellung bekommen Vektoren und
Matrizen die Information, die das Problem klarer darstellt. Dafür muss man
Vektoren und Matrizen aus der Darstellung in der einen Basis in die Darstellung
in der gewünschten Basis umrechnen.
Angenommen, die Ausgangsbasis besteht aus den n
linear unabhängigen Vektoren w1, w2, ..., w3
aus dem Rn. Jeder Vektor v aus
Rn kann als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden.
v hat dann in der Standardbasis und
der Basis von w die Koordinaten:
Unter der Standardbasis von Rn versteht man die
Spalten der Einheitsmatrix In. Aus (1) folgt die Darstellung:
v = W·c
(2)
W ist die Matrix, die entsteht, wenn man die w-Vektoren
als Spalten der Matrix W auffasst. Da diese Vektoren linear unabhängig
sind (s. Definition einer Vektorbasis), hat W eine inverse Matrix W-1
. Somit folgt aus (2):
c = W-1·v
(3)
Dies beschreibt den Basiswechsel. Die
Koordinaten c = (c1,c2, ...,cn)
eines Vektors c in der w-Basis werden durch (3) berechnet. Die
Matrix zur Berechnung des Basiswechsels W-1 ist die inverse Matrix
der Basismatrix W.
Beispiel -
der Übergang zur Wavelet-Basis
