Übung zu den Begriffen Vektorraum, Unterraum, Basis Andreas Pester Fachhochschule Techikum Kärnten, Villach
pester@cti.ac.at

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1. Es sei P eine Ebene in R³ , die durch die Gleichung x + y - 2z = 4 bestimmt ist. Bestimmen Sie zwei Vektoren, die in P liegen und zeigen Sie, dass ihre Summe nicht in P liegt. Ist P ein Unterraum von R³ ?
2. Die Unterräume von R³ sind Ebenen, Geraden, R³ selbst und Z, das nur aus (0,0,0)^T besteht. Beschreiben Sie
   1. die drei Typen von Unterräumen in R²
   2. die fünf Typen von Unterräumen in R⁴
3. Angenommen P ist eine Ebene, die durch (0,0,0) geht und L ist eine Gerade, die durch (0,0,0) geht. Bestimmen Sie den kleinsten Vektoraum, der P und L enthält (2 Möglichkeiten) !
4. Zeigen Sie, dass die Menge der invertierbaren Matrizen keinen Unterraum bilden.
5. Beschreiben Sie den Unterraum in R³, der
   1. durch die Vektoren (1,1,-1) und (-1,-1,1) aufgespannt wird
   2. durch die Vektoren (0,1,1), (1,1,0) und (0,0,0) aufgespannt wird
6. Bestimmen Sie
   1. eine Basis für die Ebene x - 2y + 3z = 0 im R³.
   2. eine Basis für die Schnittmenge dieser Ebene mit der xy-Ebene
   3. eine Basis für die Menge aller Vektoren, perpendikular (senkrecht) zu dieser Ebene stehen
7. Bestimmen Sie eine Basis
   1. für die Ebene x - 2y + 3z = 0 in R³
   2. für die Schnittmenge dieser Ebene mit der xy-Ebene
   3. für die Menge der Vektoren, die senkrecht zu der Ebene x - 2y + 3z = 0 stehen