Übung zum Thema Abstrakter Vektorraum Andreas Pester Fachhochschule Techikum Kärnten, Villach
pester@cti.ac.at

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  1. Angenommen, die Vektoraddition von x = (x1,x2)T und y = (y1,y2)T sei mit x + y = (x1 + y2, x2 + y1)T definiert. Die Multiplikation mit einer skalaren Grösse sei wie üblich definiert. Welche der Axiome (1) - (8) sind in diesem Fall nicht erfüllt ?
  2. Angenommen, die Multiplikation mit einer skalaren Grösse ist mit c·x = (cx1, 0 ) definiert . Sind in diesem Fall unter Annahme der normalen Vektoraddition die Axiome (1) - (8) erfüllt ?
  3. Es sei ein "Vektor" im Raum M2x2  der 2 x 2 - Matrizen . Was ist der Nullvektor dieses Raumes, was der Vektor 0.5*A, was der Vektor -A ? Bilden Sie den kleinsten Unterraum von M2x2 , der A enthält .
  4. Die Funktionen f(x) = x2 und g(x) = 5x sind Elemente des abstrakten Vektrorraumes F der Funktionen, die auf R definiert sind. Ist die Kombination
    3·f(x) - 4·g(x) "Vektor" in diesem Raum ?
  5. Welche Axiome sind verletzt, wenn man die Multiplikation
    c·f(x) = f(cx) definiert, die übliche Addition von Funktionen vorausgesetzt ?