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Trigonometrische Form komplexer Zahlen

 
Andreas Pester
Fachhochschule Technikum Kärnten
pester@cti.ac.at
 

Komplexe Zahlen - Inhaltsübersicht

Zusammenfassung: Hier wird die Darstellung von komplexen Zahlen in trigonometrischer Form unter Nutzung von Polarkoordinaten behandelt. Diese Darstellungsform wird für die Multiplikation und Division komplexer Zahlen verwendet.

Stichworte: Grundidee | Multiplikation | Division | Formel 1 | Formel 2 | Formel 3 | Formel 4 | Denkaufgabe 1 | Denkaufgabe 2 |
 
 
 
 
Grundidee


Da komplexe Zahlen auch als Vektoren in der Gaußschen Zahlenebene dargestellt werden können, kann man

      
 

auf sie auch die Darstellung in Polarkoordinaten anwenden (s. Abb.). Der Radius r ist dann der Betrag |z| und der Winkel f = Arg z ist der Winkel zwischen der positive Realteil-Achse Re z und dem Vektor, der die gegebene komplexe Zahl z repräsentiert.

Daraus ergeben sich folgende Zusammenhänge :

Re z = |z|·cos(f)
Im z = |z|·sin(f)
z = |z|·(cos(f)+i·sin(f)) 		(1)

Beispiel 1: Gegeben sei die komplexe Zahl z mit dem absoluten Betrag |z| = Ö2 und dem Winkel
Arg z = -p/4. Dann handelt es sich nach (1) um die komplexe Zahl z = Ö2·(cos(- p/4)+i· sin(- p/4)) = 1 - i.

Umgekehrt kann man aus der arithmetischen Form z = x + y·i Betrag und Argument der komplexen Zahl z nach folgenden Formeln berechnen:

(2)

   Gaußsche Zahlenebene
Gaußsche Zahlenebene
Polarkoordinaten 		 
 

Beispiel 2:
z = -4 + 3i = 5·(cos(2.498091545)+i·sin(2.498091545)), |z| = 5 , Arg z = 2.498091545
z = 0 hat |z| = 0 und Arg z beliebig

 

Multiplikation


Die trigonometrische Darstellungsform komplexer Zahlen ist besonders günstig für die Multiplikation und Division. Die

      
 

Multiplikation zweier komplexer Zahlen z1 und z2 wird aufgrund der Addititonstheoreme von sin und cos zur Multiplikation der Beträge und der Addition der Argumente:

(3)

   Gaußsche Zahlenebene
Additionstheoreme 		 
 

Geometrisch bedeutet dies, daß die Multiplikation zweier komplexer Zahlen eine Drehung des Vektors von z1 um den Winkel Arg z2 in mathematisch positiver Richtung und die Streckung (o. Stauchung) seiner Länge um den Faktor |z2| darstellt.

Beispiel 3: Es seien z1 = 1+i, |z1| = Ö2 und  Arg z1=p/4, z2 = -Ö2, |z2| = Ö2 und  Arg z2=p gegeben, dann gilt z1*z2=Ö2*Ö2*(cos(p/4+p)+i*sin(p/4+p)) = 2*(cos(5p/4)+i*sin(5p/4)) = 2*(-Ö2/2-Ö2/2*i) = -Ö2-Ö2i

Kurze Denkaufgabe:

  • Überlegen Sie, wie der Betrag und das Argument des Produktes z·z* für eine beliebige komplexe Zahl z aussehen und wo dieses Produkt auf der komplexen Zahlenebene liegt


 

Division


Analog zur Multiplikation wird die Division von zwei komplexen Zahlen (Divisor z=0 ist auch hier ausgeschlossen) zur Division der Beträge und der Subtraktion des Argumentes des Divisors vom Argument des Dividenden.

(4)

Geometrisch läßt sich das Ergebnis der Division als die Drehung des Vektors der Zahl z1 um den Winkel Arg z2 in mathematisch negativer Richtung deuten. Der Länge des Ergebnisvektors ist das Ergebnis der Division von |z1|/|z2|.

Beispiel 4: Es sei z = 3·(cos(p/2)+i·sin(p/2)). Dann gilt für  w=1/z  a) |w| = 1/3 , b) Arg w = -p/2

Kurze Denkaufgabe: Welche komplexe Zahl ist das Spiegelbild von z ¹ 0 bei Spiegelung

  • am Ursprung
  • an der reellen Achse
  • an der imaginären Achse
  • an der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten
  • an der Winkelhalbierenden des II. und IV. Quadranten



 

        

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