Analog wie für die rellen Zahlen gibt es zum Potenzieren auch im Komplexen eine Umkehroperation, das Radizieren oder Wurzelziehen.

Nach dem Satz von Moivre gilt folgende Beziehung:

(1)

Setzt man nun anstelle n in (1) den Faktor 1/n, so erhält man leicht:

(2)

In der Formel (2) ist aber nicht berücksichtigt, das es sich bei cos und sin um periodische Funktionen mit der Periode T = 2·kp handelt. Beim Potenzieren hat das keine Rolle gespielt, weil 2·k·n·p auch wiederum eine Periode von cos und sin ist.

Beim Radizieren ergibt aber für k = 0,1,..,n-1 n unterschiedliche Werte. Das gleiche gilt für die sin-Funktion. Deshalb hat die n-te Wurzel aus z genau n Werte, die nach folgender Formel berechnet werden.

(3)

z_k ist dann der k-te von n Wurzelausdrücken. z₀ wird der Hauptwert der Wurzel genannt.
 

Beispiel

Gesucht ist die 3-te Wurzel aus z = 1 + i. z = Ö2·e ^i(p/4+2·kp) ist die exponentielle Form von z. Somit ergeben sich für die Wurzeln folgende Werte:

Geometrisch stellt die n-te Wurzel aus einer komplexen Zahl z n Zeiger an einem Kreis mit dem Radius |z| dar. Die erste Wurzel in mathematisch positiver Richtung ist der sogenannte Hauptwert, der das Argument (Arg Z)/n besitzt. Alle anderen Wurzelwerte sind zu z₀ um den Winkel 2·p/n versetzt.

Auch die n-te Wurzel aus einer reellen Zahl hat im komplexen n Werte. Insbesondere gilt das für die n-te Wurzel aus Eins.
 

Als Einheitswurzeln bezeichnet man die Nullstellen des Polynoms f(z) = zⁿ - 1. Den Hauptwert bezeichnet man als die primitive n-te Einheitswurzel, sie hat das Argument 2·p/n, alle anderen Wurzeln sind um 2·p/n versetzt zur primitiven Wurzel. Die n-ten Einheitswurzeln treten in vielen Bereichen auf. Sie werden u.a. für den bekannten FFT-Algorithmus benötigt. Algebraisch betrachet bilden sie eine zyklische Gruppe.

 

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