nml-Projekt Welcome Page   mathe online Welcome Page
Die Eulersche Formel und ihre Anwendung zur exponetiellen Darstellung komplexer Zahlen

 

Andreas Pester
Fachhochschule Technikum Kärnten, Villach
pester@cti.ac.at
 

Komplexe Zahlen - Inhaltsübersicht

Zusammenfassung: Auf dieser Seite wird die Eulersche Formel und ihre Anwendung für die exponentielle Darstellungsform komplexer Zahlen behandelt. Ein Abschnitt ist dem Satz von Moivre gweidmet

Stichworte: Die Eulersche Formel | Komplexe Zahlen in exponentieller Form | Multiplikation und Division | Formel 1 | Formel 2 | Formel 3 | Formel 4 und 5
 

 
 
 
Die Eulersche Formel


Die Eulersche Formel ist ein äusserst wichtiges Ergebnis der Mathematik. Sie lautet :

ef = cos(f) + i·sin(f) (1)

Für diese Formel gibt es keine motivierende Visualisierung oder physikalische Interpretation, aber man kann sie aus der Zerlegung der Funktionen ex, cos(x), sin(x) in Taylor-Reihen herleiten.

      
 

Die MacLaurin-Reihen (Taylor-Reihe Entwicklungspunkt x0 = 0) für ex, cos(x), sin(x)  lauten bekanntlich:

(2)

   Taylor-Reihen
© Mathematik-Online Universität Stuttgart
 
 

      
 

Setz man nun anstelle des Argumentes x das Argument i·x in ex ein und ordnet das Ergebnis nach Real- und Imaginärteil, so erhält man die bekannte Formel (1).

   Taylor am Web (Matlab)
Taylor am Web (Java-Applet)
 
 


 

Komplexe Zahlen in exponentieller Form


Aus (1) folgt nun die exponentielle Darstellungsform für eine komplexe Zahl z :

z = |z|·(cos(f) + i·sin(f)) = |z|·ef = |z|·ei·Arg z (3)

Aus der letzten Formel (3) heraus wird die geometrische Interpretation einer komplexen Zahl als Ortsvektor der Länge |z| mit dem Winkel f = Arg z besonders deutlich. Insbesondere lässt sich für eine Reihe komplexer Zahlen Betrag und Argument besonders deutlich ablesen.

  • 1 = 1·ei·0 = 1·e2pi
  • i = 1·ep/2
  • -1 = 1·e-i·p
  • -i = 1·ei·3p/2 = 1·e-i·p/2
Es ist jeweils ein Ortsvektor der Länge 1, gedreht um den Winkel f


 

Multiplikation und Division


      
 

Multiplikation und Division zweier komplexer Zahlen z1 und z2 kann man nun noch einfacher darstellen als in der trigonometrischen Form :

z1·z2 = |z1·|z|2|· ei(f1+f2) (4)

z1/z2 = |z1|/|z2|· ei(f1-f2) (5)

Insbesondere ist jetzt klar, dass die Multiplikation einer komplexen Zahl z mit i die Drehung des diese Zahl repräsentierenden Vektors um den Winkel p/2 in mathematisch positiver Richtung darstellt. Die Multiplikation mit -1 ist entsprechend die Drehung um den Winkel p in der genannten Richtung usw. Deswegen sind z und -z Vektoren derselben Länge, aber um 180° versetzt

Umgekehrt ist die Division einer komplexen Zahl z durch i die Drehung des diese Zahl repräsentierenden Vektors um den Winkel p/2 in mathematisch negativer Richtung. Die Division durch -1 ist entsprechend die Drehung um den Winkel p in dieser Richtung und identisch mit der Multiplikation mit -1, da der Winkel f immer in der kleinsten Periode 0 < f < 2·p dargestellt wird.

Die zu z = |z|·ef konjugiert komplexe Zahl z* = |z|·ei·(-f) ist dann die komplexe Zahl mit dem gleichen Betrag, aber mit dem Winkel - f.

 

   Visualisierung  

nml-Projekt Welcome Page
Lernpfade des nml-Projekts
Materialien-Übersicht des nml-Projekts
mathe online Welcome Page

    Bundesministerium für Bildung, Wissenschaft und Kultur

   Finanziert mit
   Projektmitteln des bm:bwk