Multiplikation und Division zweier komplexer Zahlen z1 und z2
kann man nun noch einfacher darstellen als in der trigonometrischen Form :
z1·z2 =
|z1·|z|2|· ei(f1+f2)
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(4) |
z1/z2 =
|z1|/|z2|· ei(f1-f2)
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(5) |
Insbesondere ist jetzt klar, dass die Multiplikation einer komplexen Zahl z mit i die Drehung des diese Zahl repräsentierenden
Vektors um den Winkel p/2 in mathematisch positiver Richtung darstellt. Die Multiplikation mit -1 ist entsprechend
die Drehung um den Winkel p in der genannten Richtung usw. Deswegen sind z und -z Vektoren derselben Länge,
aber um 180° versetzt
Umgekehrt ist die Division einer komplexen Zahl z durch i die Drehung des diese Zahl repräsentierenden
Vektors um den Winkel p/2 in mathematisch negativer Richtung. Die Division durch -1 ist entsprechend
die Drehung um den Winkel p in dieser Richtung und identisch mit der Multiplikation mit -1,
da der Winkel f immer in der kleinsten Periode 0 < f <
2·p dargestellt wird.
Die zu z = |z|·ei·f konjugiert komplexe Zahl z* =
|z|·ei·(-f)
ist dann die komplexe Zahl mit dem gleichen Betrag, aber mit dem Winkel - f.
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