Lösungen

1. Durch a_k = 1  (wobei die Partialsummen mit k=1 beginnen).
    
2. Durch a_k = (-1)^k  (wobei die Partialsummen mit k=0 beginnen).
    
3. Die Reihe konvergiert, da die Folge der Partialsummen monoton wachsend ist und a_k (für k≤1) immer kleiner als eine (bekannterweise konvergente) Reihe ist:
   k/(k⁴ + 1) ≤ k/(k⁴ + k⁴) = 1/(2k³)
   Wenn man will, kann man weiter abschätzen: 1/(2k³) ≤ 1/(2k²).
   Sowohl die durch 1/k³ als auch die durch 1/k² definierten Reihen konvergieren.
    
4. Die gegebene geometrische Reihe wird durch a_k = 1/3^k definiert (wobei die Partialsummen mit k=0 beginnen). Der exakte Grenzwert ist 3/2.
    
5. Sie konvergiert sehr schnell, da k^k mit k sehr schnell wächst, die Summanden 1/k^k der Partialsummen daher rasch sehr klein werden.
    
6. Der Grenzwert der Reihe ist die Zahl π.