Lösungen
  1. Arithmetisch: an = n - 5.
    Geometrisch: an = 1.2n, an = 4 · 0.7n und an = 10 · 2-n.
     
  2. Die zehnte Wurzel aus 10 ist größer als die zwanzigste Wurzel aus 20. Die einmillionste Wurzel aus einer Million liegt knapp über 1.
     
  3. Nach oben beschränkt: alle außer an = n - 5, an = 1.2n und an = n2/(n + 3).
    Nach unten beschränkt: alle außer an = 5 - n2.
     
  4. Monoton wachsend: an = n - 5, an = 1.2n und an = n2/(n + 3).
    Monoton fallend: an = 5/n, an = 5 - n2, an = 4 · 0.7n, an = 5/n2 und an = 10 · 2-n.
    Falsche Diagnose aufgrund der ersten 5 Glieder im Fall der Folgen an = 50n/(n2 + 50) und an = (n2 + 3n)/(n2 + 5).
     
  5. Konvergent sind:
     
    • an = 5/n     (Grenzwert: 0)
    • an = 1 + (-1)n/n     (Grenzwert: 1)
    • an = (n + 1)/(2n - 5)     (Grenzwert: 1/2)
    • an = 4 · 0.7n     (Grenzwert: 0)
    • an = 50n/(n2 + 50)     (Grenzwert: 0)
    • an = 5/n2     (Grenzwert: 0)
    • an = (n2 + 3n)/(n2 + 5)     (Grenzwert: 1)
    • an = 10 · 2-n     (Grenzwert: 0)
    • an = (sin n)/n     (Grenzwert: 0)
    • an = n1/n ( = n-te Wurzel aus n)     (Grenzwert: 1)

  6. Die geometrischen unter den konvergenten Folgen nähern sich ihrem Grenzwert am schnellsten. Eine Mittelstellung nimmt die Folge an = 5/n2 ein, alle andere konvergieren langsamer.

    Um ein Gefühl für diese unterschiedlichen Konvergenzverhalten zu bekommen, setzen Sie eine große Zahl für n (z.B. 1 Million) in die verschiedenen Terme ein und vergleichen Sie deren Werte! Führen Sie keine komplizierten Berechnungen durch, sondern benutzen Sie ganz elementare Abschätzungen wie beispielsweise:
    • Ist n sehr groß, so unterscheidet sich n2 + 50 anteilsmäßig kaum von n2. Daher kann bei einer Abschätzung des Verhaltens für große n der Term 50n/(n2 + 50) durch 50n/n2 = 50/n ersetzt werden.
    • 2-1000000 ist sehr viel kleiner als 1/1000000.

    • an = 5/n
      Ab n = 26 ist der Abstand von an zum Grenzwert (0) kleiner als 0.2.
      Ab n = 51 ist der Abstand von an zum Grenzwert (0) kleiner als 0.1.
    • an = 50n/(n2 + 50)
      Ab n = 49 ist der Abstand von an zum Grenzwert (0) kleiner als 1.
      Ab n = 100 ist der Abstand von an zum Grenzwert (0) kleiner als 0.5.
    • an = 1 + (-1)n/n
      Ab n = 11 ist der Abstand von an zum Grenzwert (1) kleiner als 0.1.
      Ab n = 21 ist der Abstand von an zum Grenzwert (1) kleiner als 0.05.