Hilfe - Einige Grundregeln beim Rechnen mit Mathematica

• Mit Hilfe dieses Online-Werkzeugs können Sie exakte und numerische Berechnungen durchführen. Eine Eingabe kann aus mehreren Mathematica-Befehlen - am besten ein Befehl pro Zeile - bestehen. So gesehen stellt eine Eingabe ein "Programm" dar, im Laufe dessen Sie die eingebauten Funktionen verwenden und eigene Namen als Abkürzungen für Zahlen, Terme, Funktionen, Gleichungen und andere Objekte definieren und wieder aufrufen können. (In selbstgewählten Namen bitte keine Sonderzeichen wie Umlaute und Underscore _ verwenden - insbesondere der Buchstabe ü macht Probleme!)
   
• Achtung: Diese Online-Version unterstützt die graphischen Funktionalitäten von Mathematica nicht (bzw. nur sehr schlecht).
   
• Mathematica hat eine eingebaute Hilfe zu allen Befehlen. Sie wird - anhand des Beispiels Expand - als ?Expand aufgerufen. Es kann auch ein Stern * verwendet werden, um die zu einem Muster passenden Befehle aufzufinden. Beispiel: ?*Solve. Eingabe von ?* erzeugt eine Liste aller Befehle.
   
• Im Unterschied zu Mathematica für graphische Oberflächen müssen in dieser Version alle Befehle als Text (in syntaktisch richtiger Form) eingegeben werden. Das ist aber keine Hexerei: Wenn Sie sich die hier angegebenen Regeln und Beispiele ein bisschen ansehen und mit ihnen experimentieren, können Sie in Kürze selbst Mathematica-ExpertIn sein.
   
• Wenn Sie die Syntax für eine bestimmte Berechnung kennen, geben Sie Ihre Eingabe einfach in das Textfeld ein, und klicken Sie auf den Button "Ausführen". Für den Fall, dass Sie mit Mathematica noch nicht vertraut sind, haben wir mit dem Online-Werkzeug zahlreiche nach Gebieten und Themen geordnete Beispiele für Berechnungen verbunden, die nach Auswahl ebenfalls ins Textfeld geschrieben und nach Klick auf den Button ausgeführt werden. An ihnen können Sie die jeweilige Eingabeform erkennen. In den meisten Fällen werden Sie dem Beispiel leicht ansehen, wie Sie es abändern müssen, um Ihre eigene Berechnung durchzuführen.
   
• Mehrere Befehlszeilen werden einfach untereinander geschrieben. Die Eingabezeilen werden (als In[1], In[2],... gekennzeichnet) wiederholt; die entsprechenden Resultate werden als Out[1], Out[2],... bezeichnet. Eine Eingabe darf sich auch über mehrere Zeilen erstrecken. (Falls eine Zeile nicht vollständig ist, z.B. weil noch nicht alle Klammern geschlossen sind, so wird die nächste Zeile einfach als Fortsetzung dieses Ausdrucks angesehen). Achtung: Falls nach Abschicken der gesamten Eingabe nicht alle Klammern geschlossen sind, wird diese als unvollständig erkannt, und die Inputbefehle werden nicht angezeigt.
   
• Gross- und Kleinschreibung beachten! Eingebaute Funktionen sind zumeist mit grossem Anfangsbuchstaben geschrieben (wie zum Beispiel Sin, Cos oder das oben erwähnte Expand).
   
• Klammern: Runde Klammern zum Zusammenfassen (Reihenfolge der Rechenoperationen; Beispiel: (a+b)^2), eckige Klammern für Funktionsaufrufe (Beispiel: Sin[x]) und geschwungene Klammern für Listen und Bereiche.
   
• Eine Funktion, die nur von einem einzigen Argument abhängt, kann mit Hilfe des Zeichens // von rechts auf alles Vorstehende angewandt werden. So ist Expand[(1+y)^2] dasselbe wie (1+y)^2//Expand .
   
• Den jeweils letzten Output kann man mit dem Namen % ansprechen. Beispiel:
  u^2 - u == 1
  Solve[%,u]//Expand
   
• Wird eine Eingabe mit ; beendet, so wird der Output nicht angezeigt. Damit können mehrere Befehle in eine Zeile geschrieben werden. Beispiel:
  A = (z^2-1)^2; Expand[A]
   
• Listen werden in der Form {1,3,5,7,9} geschrieben. Length[L] gibt die Länge (Zahl der Elemente) einer Liste L, L[[3]] ist das dritte Listenelement. Listen können auch mit Hilfe des Table-Befehls erzeugt werden. So ist beispielsweise Table[j^2,{j,1,5}] die Liste der ersten fünf Quadratzahlen. Zwei Listen L1 und L2 können mit Hilfe des Befehls Join[L1,L2] aneinandergehängt werden, und der Befehl Append[L1,x] fügt das Element x der Liste L1 hinzu.
   
• Matrizen und Vektoren werden als Listen (bzw. Listen von Listen) angeschrieben: Beispiele: A = {{1,0},{1,2}} und B = {{3,1},{0,4}} sind 2×2-Matrizen. (A kann als MatrixForm[A] ausgegeben werden), v = {{a},{b}} ein Spaltenvektor, u = {{a,b}} ein Zeilenvektor und A.B, u.A und B.v die entsprechenden (Matrix-)Produkte.
   
• Eine Regel ist eine Ersetzungsvorschrift, z.B. u->3. Soll sie auf den Ausdruck u^2 + v angewandt werden, so wird dies mit Hilfe der Zeichenkombination /. in der Form u^2 + v/.x->3 eingegeben. Insbesondere die Lösungen von Gleichungen werden als Regeln (oder Listen von Regeln) ausgegeben).
   
• Definition von Funktionen: entweder als symbolischer Ausdruck (wie in g = x(x-1)^2) oder in Abhängigkeit von einer Variablen f[x_] = x(x-1)^2. Im letzen Fall kann etwa später f[3] verwendet werden. In beiden Fällen wird der betreffende Ausdruck sofort nach Eingabe der Definition berechnet. Soll die Berechnung nur beim Aufruf durchgeführt werden (z.B. weil sie lange dauert), so verwendet man statt dessen das Zeichen :=, wie z.B. in h[x_]:=Integrate[t Exp[-t],{t,0,x}]. Wird später etwa h[7] aufgerufen, so wird die Integration ausgeführt.
   
• Einige der eingebauten symbolischen Konstanten sind E, Pi und die komplexe Einheit I. Der Name Infinity steht für "unendlich". (Er wird z.B. für Grenzprozesse und uneigentliche Integrale verwendet). Bei Dezimalzahlen ist ein Dezimalpunkt (kein Beistrich) zu verwenden!
   
• Eingebaute Funktionen können von einem oder mehreren Argumenten abhängen. Einige Beispiele:
   

  Funktion	Beschreibung	Beispiele
  Solve	Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen	Solve[x^2 + 3x - 7 == 0,x] Solve[{u+v-a == 0, u-v == b},{u,v}]
  NSolve	Numerisches Lösen von polynomischen Gleichungen	NSolve[x^4-6x^2-x+7==0,x]
  Expand	Klammern ausmultiplizieren	Expand[(1+x)^20] (a+b)^3 +(a-b)^3//Expand
  Factor	Polynom faktorisieren	Factor[a^2-b^2]
  Together	Auf gemeinsamen Nenner bringen	Together[1/a + 1/(a+1)]
  Simplify	Vereinfachen	Simplify[1/u + 1/u^2] 1/(x+1) + x + 1/(x-1)//Simplify
  Sum	Summe	Sum[j,{j,1,100}] Sum[1/j^2,{j,1,Infinity}]
  NSum	Summe numerisch nähern	NSum[1/j,{j,1,100}]
  N	Numerischer Wert (in Dezimaldarstellung)	128/17 Sqrt[2] //N N[Pi,100] ... auf 100 Stellen genau
  Limit	Grenzwert	Limit[Sin[x]/x,x->0]
  D	Differenzieren	D[(1+x)^3,x] ... erste Ableitung D[(1+t)^3,{t,3}] ... dritte Ableitung
  Series	Taylorreihe berechnen	Series[Sin[x],{x,0,9}]
  DSolve	Lösen von Differentialgleichungen	DSolve[{f'[x]==-a f[x],f[0]==1},f[x],x]
  Integrate	Integrieren	Integrate[x^2,x] ... Stammfunktion Integrate[u^2,{u,a,b}] ... bestimmtes Integral
  NIntegrate	Numerisch integrieren	NIntegrate[Exp[-x^2],{x,0,1.5}]

  
  Die wichtigsten mathematischen Funktionen sind:
  Sqrt, Exp, Log, Abs, Min, Max, Sin, Cos, Tan, Cot, ArcSin, ArcCos, ArcTan, ArcCot, Sinh, Cosh, Tanh, Coth .
  Nähere Beschreibungen sind mit der eingebauten Hilfefunktion aufzurufen, z.B. ?Log .
   
• Für komplexere Programmabläufe können die Schleifenbefehle Do, For und While verwendet werden, für logische Abfragen steht die Funktion If zur Verfügung. Für weitere Informationen geben Sie einfach ?Do, ?For, ?While und ?If ein.
   
• Um eine Ausgabe zu erzwingen, verwenden Sie den Befehl Print. Beispiel: Die Eingabe
  Do[Print["Das Quadrat von ",j," ist ",j^2,"."],{j,1,10}]
  führt zur Ausgabe der ersten 10 Quadratzahlen innerhalb eines kleinen Textes. Versuchen Sie es!
   
• Komentare können wie im Beispiel
  D[f[x],x]    (* nun wird die Funktion f differenziert *)
  zur Dokumentation einzelner Zeilen eingefügt werden.
   
• Falls Sie auf irgendwelche Unzulänglichkeiten stoßen, schicken Sie uns bitte eine kurze Nachricht.