Auflösung
Seltsame Summe
Die verwendete Formel für den Grenzwert einer geometrischen Reihe
1 + q
+ q2
+ q3 +
...
gilt tatsächlich nur für | q | < 1.
Dieser "Konvergenzbereich" reicht also von
q = –1 bis
q = 1.
Man sagt auch, der "Konvergenzradius" der Reihe
ist 1. (Er ist ein Intervall mit 0 als "Mittelpunkt" und 1 als "Radius").
An den Rändern dieses Bereichs sind die Verhältnisse auch ohne
Rechnung leicht zu durchschauen:
Wird q = 1
gesetzt, so ergibt sich die divergente Reihe 1 + 1 + 1 + ... .
Für q = –1
entsteht die Reihe 1 – 1 + 1 – 1 ..., und diese divergiert
ebenfalls.
Zwischen diesen beiden Extremen konvergiert die Reihe, und der Grenzwert (die "Summe")
ist 1/(1 – q).
Der in der Argumentation
verwendete Wert q = 2
liegt jedenfalls klar außerhalb des Konvergenzbereichs, und damit
außerhalb des Gültigkeitsbereichs der verwendeten Formel.