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Parametrische Kurven in der Ebene

 

Projektgruppe Analysis
Universität Innsbruck

Michael Oberguggenberger
Alexander Ostermann
Markus Unterweger

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Inhalt: Auf dieser Seite finden Sie das Applet Parametrische Kurven in der Ebene und Informationen zu seiner Bedienung.

Navigation: Theorie | Applet | Hilfe zur Bedienung des Applets

 
 
Applet


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  • letzte Änderung: 17.01.2005
  • Größe: 122 KB

Falls Sie Probleme haben das Applet auszuführen, lesen Sie bitte hier, welche Voraussetzungen ihr Browser haben muss, um unsere Applets anzeigen zu können.


 

Theorie



Für den theoretischen Hintergrund des Applets verweisen wir auf den Artikel  Ebene Kurven.


 

Hilfe zur Bedienung


Definition der Kurve

Wie aus dem Screenshot ersichtlich, wird die Kurve im Feld (x(t),y(t)) definiert. Die Kurve muss dabei in der Form

gemeinsamer Faktor (x-Komponente, y-Komponente)

beziehungsweise

(x-Komponente, y-Komponente)

eingegeben werden, wobei die einzelnen Komponenten und der Faktor jeweils Funktionsausdrücke in der Variablen t sein müssen. Zum Beispiel wird die im Screenshot abgebildete Spirale definiert durch t(cos(t),sin(t)). Eine Eingabe mit explizitem Multiplikationszeichen t*(cos(t),sin(t)) oder ohne gemeinsamen Faktor (t*cos(t),t*sin(t)) ist ebenso erlaubt. Nähere Informationen über die Eingabe von Funktionen finden sie hier.

Intervall festlegen

Im Feld Intervall wird das Intervall für den Parameter in der Form [untere Intervallgrenze, obere Intervallgrenze] eingegeben. Wenn die Komponenten der Kurve und das Intervall eingegeben sind, bewirkt Drücken des Knopfes Berechnen die graphische Ausgabe des Kurvenverlaufs.

screenshot

Anzahl der Punkte festlegen

Falls die Checkbox Anzahl Punkte selbst festlegen aktiviert ist, können Sie die Anzahl der zum Zeichnen der Kurve zu berechnenden Punkte selber, durch Verschieben des Schiebereglers, festlegen.
 

Geschwindigkeitsvektor, Beschleunigungsvektor und begleitendes Zweibein

Sobald die Kurve gezeichnet worden ist, kann an Stellen der Kurve, in denen sie differenzierbar ist (siehe unten),

  • der Geschwindigkeitsvektor,
  • der Geschwindigkeitsvektor (blau) mit dem Beschleunigungsvektor (grün), oder
  • das begleitende Zweibein
geplottet werden. Wählen Sie dazu die entsprechende Option; Sie können die Vektoren entweder mit dem Schieberegler der Kurve entlang verschieben oder durch Eingabe im Feld zeichne bei  t=  an einem bestimmten Parameterwert zeichnen lassen. In der Statusleiste werden entsprechend der gewählten Option der Geschwindigkeitsvektor (bezeichnet mit v), der Beschleunigungsvektor (bezeichnet mit a) bzw. der Normalvektor (bezeichnet mit n) zusammen mit dem aktuellen Wert des Parameters ausgegeben. Beachten Sie, dass beim begleitenden Zweibein der Geschwindigkeitsvektor und der Normalvektor nicht mit Länge eins dargestellt werden, sondern eine fixe Größe in Pixel haben, da ansonsten die Vektoren je nach Skalierung der Kurve entweder sehr groß oder sehr klein sein können. Man beachte noch, dass die Optionen zum Zeichnen der Vektoren deaktiviert werden, falls die Anzahl der Punkte, die zum Zeichnen verwendet werden sollen, vom Benutzer festgelegt wird.

Numerische Differentiation

Zur Bestimmung des Geschwindigkeitsvektors, des Beschleunigungsvektors und des begleitenden Zweibeins wird die Kurve numerisch differenziert (d.h. die Ableitungen werden durch Differenzenquotienten approximiert). Durch Vergleich von Vorwärts-, Rückwärts- und zentralen Differenzen versucht das Applet auch zu erkennen, ob die Kurve im aktuellen Punkt differenzierbar ist oder nicht, und gibt eine entsprechende Meldung aus, falls die Kurve in dem Punkt nicht differenzierbar ist. Die numerische Differentiation unterliegt natürlich den Begrenzungen der Rechengenauigkeit des Computers, weshalb es bei "schlecht skalierten" Kurven vorkommen kann, dass das Erkennen der Differenzierbarkeit oder Nichtdifferenzierbarkeit fehlschlägt.

Achsenskalierung

Nach dem Zeichnen der Kurve stehen einige Möglichkeiten zur Verfügung, die Skalierung der Achsen zu verändern. Mit der Option gleich skalieren setzen Sie fest, dass eine Einheit auf der x-Achse gleich vielen Pixel entspricht wie eine Einheit auf der y-Achse. Dies stellt sicher, dass z.B. ein Kreis als Kreis und ein rechter Winkel als rechter Winkel (beim begleitenden Zweibein) abgebildet wird. Mit der Option unabhängig skalieren setzen sie fest, dass die Achsen nach minimal und maximal vorkommenden Werten (bis auf Rundung) skaliert werden. Bei beiden Optionen können sie die Skalierung der Achsen durch die "+" und "-" Knöpfe anpassen, bei der Option gleich skalieren natürlich nur gemeinsam für beide Achsen.

Koordinatensystem einseitig vergrößern

Schließlich können Sie unter Koordinatensystem einseitig vergrößern das Koordinatensystem in den vier verschiedenen Achsenrichtungen unabhängig voneinander vergrößern. Diese Option dient vor allem dem Zweck, das Koordinatensystem so anzupassen, dass der Geschwindigkeitsvektor, der Beschleunigungsvektor und das begleitende Zweibein vollständig zu sehen sind.

Fragen

Falls Sie weitere Fragen zum Applet haben, uns Hinweise auf Fehler oder Kommentare zukommen lassen wollen, schreiben Sie uns bitte.

Markus Unterweger, letzte Änderung: 13.November 2004

 

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