Zeigerdiagramme ein ideales Hilfsmittel für Beweise dieser Art.
Wir haben unten zwei Skizzen eingefügt -
versuchen Sie selbst, auch für die verbleibenden Fälle Zeigerdiagramme,
die die jeweilige Situation illustrieren, zu zeichnen!
sin(90°
- a)
= cos a
cos(90°
- a)
= sin a
(8)
Beweis: Im Zeigerdiagramm wird 90° - a
durch einen Zeiger dargestellt, der aus dem für a
durch eine Spiegelung an der ersten Mediane (am Zeiger für 45°) hervorgeht.
Daher vertauschen Sinus und Cosinus
beim Übergang von a zu 90° - a
ihre Rollen:
Die schwarzen Beschriftungen a
und 90° - a
kennzeichnen die den Zeigern entsprechenden Winkel.
In gleichen Farben beschriftete Strecken haben die gleichen Längen.
Um die Identitäten (8) für alle Winkel zu beweisen,
überlegen Sie, wie sich die Vorzeichen verhalten, wenn
der Winkel a größer als
90° ist!
Andere Beweisführung (für 0° < a < 90°):
In einem rechtwinkeligen Dreieck, das den Winkel a besitzt,
ist 90° - a
der zweite nicht-rechte Winkel; für ihn ist die Ankathete jene Seite, die für
a die Gegenkathete ist, und umgekehrt.
Daher vertauschen Sinus und Cosinus
beim Übergang zu a auf 90° - a
ihre Rollen.
sin(a
+ 90°) = cos a
cos(a
+ 90°) = -sin a
(9)
Beweis: Im Zeigerdiagramm wird a + 90°
durch einen Zeiger dargestellt, der aus dem für a
durch eine Drehung um 90° im Gegenuhrzeigersinn hervorgeht, auf den ersten also normal steht.
Ist a zwischen 0° und 90°, sieht die Sache so
aus:
Betrachten Sie die beiden hervorgehobenen Dreiecke: Sie sind zueinander um 90° gedreht.
Die in gleichen Farben beschrifteten Strecken haben die gleichen Längen.
Die in grün beschrifteten Strecken werden beide
als positiv gezählt, was die erste Identität beweist. Hingegen weist eine der blau
beschrifteten Strecken nach links, wird also negativ gezählt
- was das Minuszeichen in
der zweiten Gleichung begründet.
Um die Identitäten (9) für alle Winkel zu beweisen,
überlegen Sie, wie sich die Vorzeichen verhalten, wenn
der Winkel a größer als
90° ist!
sin(180°
- a)
= sin a
cos(180°
- a)
= -cos a
(10)
Beweis: Im Zeigerdiagramm wird 180° - a
durch einen Zeiger dargestellt, der aus dem für a
durch eine Spiegelung an der vertikalen Achse hervorgeht.
Daher bleibt der Sinus (der in vertikaler Richtung abgelesen wird) beim Übergang von a
zu 180° - a
erhalten, während der Cosinus (der in horizontaler Richtung abgelesen wird)
sein Vorzeichen ändert.
sin(a
+ 180°) = -sin a
cos(a
+ 180°) = -cos a.
(11)
Beweis: Im Zeigerdiagramm wird a + 180°
durch einen Zeiger dargestellt, der dem für a
genau entgegengesetzt ist. Daher ändern beide Winkelfunktionen beim
Übergang von a zu a + 180°
ihr Vorzeichen.
