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Einige Eigenschaften der Binomialkoeffizienten:

Für jedes n kann k alle ganzzahligen Werte zwischen 0 und n annehmen. Da am Rand des Pascalschen Dreiecks nur Einser stehen, gilt für alle n

n
0

=
n
n

= 1.
(1)
Der jeweils nächste Koeffizient (und der jeweils vorletzte) jeder Zeile des Pascalschen Dreiecks ist n, was

n
1

=
n
n - 1

= n
(2)
zur Folge hat.

Vielleicht haben Sie schon bemerkt, daß mehrere der Koeffizienten gleich sind. Genauer gesagt, gilt,


n
k

=
n
n - k

,
(3)
was einfach die Tatsache ausdrückt, daß das Pascalsche Dreieck symmetrisch ist. (Das kommt letztlich daher, daß sich am Term a + b nichts ändert, wenn a und b vertauscht werden. Daher müssen die Koeffizienten dieselben bleiben, wenn die ausmultiplizierten Ausdrücke für (a + b)n in umgekehrter Reihenfolge angeschrieben, d.h. nach fallenden Potenzen von b geordnet werden).

Nun läßt sich auch die so bestechend einfache Konstruktionsvorschrift des Pascalschen Dreiecks in eine Formel fassen:


n
k

=
n - 1
k - 1

+
n - 1
k

(4)
für n ³ 2 und 1 £ k £ n - 1. Sie drückt genau die Regel aus, daß der Wert eines Koeffizienten im Pascalschen Dreieck die Summe der beiden schräg über ihm stehenden ist! Setzen Sie n = 4 und k = 2 in diese Formel ein und finden Sie heraus, welche drei Zahlen im Pascalschen Dreieck sie betrifft!