Begründung:
Dahinter steht folgende Idee:
Ist für irgendein konkretes x Î G die ''Behauptung''
LinkeSeite = RechteSeite eine wahre Aussage, so ist auch
LinkeSeite + 1 = RechteSeite + 1 eine wahre Aussage.
Ist hingegen für irgendein konkretes x Î G die ''Behauptung''
LinkeSeite = RechteSeite eine falsche Aussage, so ist auch
LinkeSeite + 1 = RechteSeite + 1 eine falsche Aussage.
Anstelle der Gleichung LinkeSeite = RechteSeite kann also auch die
Gleichung LinkeSeite + 1 = RechteSeite + 1 betrachtet werden: Beide
sagen dasselbe aus, haben dieselbe Lösungsmenge. Sie sind zueinander
äquivalent. Symbolisch kann das so ausgedrückt werden:
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LinkeSeite = RechteSeite Û LinkeSeite + 1 = RechteSeite + 1 |
| (1) |
Von der ersten Version kommt man zur zweiten, indem zu beiden Seiten die
Zahl 1 addiert wird. Umgekehrt kommt man von der zweiten zur ersten Version,
indem von beiden Seiten die Zahl 1 subtrahiert wird. Beide Versionen beinhalten dieselbe
Information. Wird eine Version gelöst, so ist damit automatisch auch die
andere gelöst.
Diese Überlegung ist nicht auf Addition der Zahl 1 beschränkt, sondern gilt für beliebige
Zahlen und sogar für Terme:
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LinkeSeite = RechteSeite Û LinkeSeite + Term = RechteSeite + Term |
| (2) |
wobei Term ein beliebiger Term ist, der von x abhängen darf (sofern er
für alle x Î G wohldefiniert ist).
Eine andere wichtige Äquivalenztransformation besteht darin, beide Seiten einer
Gleichung mit einer Zahl oder einem Term zu multiplizieren
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LinkeSeite = RechteSeite Û LinkeSeite ×Term = RechteSeite ×Term |
| (3) |
wobei allerdings nun Term für alle x Î G wohldefiniert und von Null verschieden
sein muß. (Nur dann kann durch Division aus der zweiten Version die
erste zurückgewonnen werden).