Beweise: Ableitungen der inversen Winkelfunktionen

Beweise: Ableitungen der inversen Winkelfunktionen:

Funktion

Ableitung

asin x

1
_______
_____
√ 1 − x²

acos x

−	1 _______ _____ √ 1 − x²

Funktion

Ableitung

atan x

1 + x²

acot x

−

1 + x²

Um die Ableitungen der inversen Winkelfunktionen zu berechnen, benutzen wir die Ableitungsregel (15). Wir führen dies anhand des Arcus Sinus ausführlich vor: Wir fassen ihn als Funktion f auf und schreiben f(x) = asin x. Seine Inverse ist die Sinusfunktion, die wir in der Form x( f ) = sin f anschreiben. Gemäß Regel (15) ist die (gesuchte) Ableitung durch

f '(x)

x'( f )

gegeben. Der Nenner ist nichts anderes als die Ableitung der Sinusfunktion, die wir in (17) bereits berechnet haben: x'( f ) = sin'( f ) = cos f . Wir müssen ihn nur mehr durch die Variable x ausdrücken. Wir könnten ihn als cos(asin x) schreiben, was zwar richtig ist, aber kein sehr schöner Ausdruck. Es geht besser: Dazu schreiben wir noch einmal den ursprünglichen Zusammenhang zwischen x und f auf:
x = sin f
Ziel ist es, cos f durch x auszudrücken. Dazu erinnern wir uns daran, dass Sinus und Cosinus nicht voneinander unabhängig sind. Im Kapitel Winkelfunktionen haben wir diesen Zusammenhang besprochen, siehe die dortigen Formeln (4) und (5). Da der Arcus Sinus die inverse Funktion des Sinus im Intervall −π/2 ≤ f ≤ π/2 ist (siehe Kapitel Winkelfunktionen), ist cos f ≥ 0, woraus folgt:

cos f =

________
√ 1 − sin²f

_____
√ 1 − x² .

Die Ableitung des Arcus Sinus ist daher der Kehrwert dieses Ausdrucks,

asin'(x)

1
_______
_____
√ 1 − x²

was genau der ersten Eintragung der obigen Tabelle entspricht.

Die Ableitungen der anderen inversen Winkelfunktionen (Arcus Cosinus, Arcus Tangens und Arcus Cotangens) können in analoger Weise berechnet werden. Dabei werden die Ableitungen der Winkelfunktionen, die wir bereits in (18)−(20) berechnet haben, vorausgesetzt. In den jeweils letzten Umformungsschritten (die dazu dienen, das Resultat durch die Variable x ausdrücken) wird die Identität
sin²f + cos²f = 1
verwendet. Wir geben hier nur stichwortartig die Kochrezepte an:

Ableitung des Arcus Cosinus:

Zusammenhang zwischen x und f : x = cos f.
Funktion: f(x) = acos x.
Inverse Funktion: x( f ) = cos f.
Ableitung der inversen Funktion: x'( f ) = cos'( f ) = −sin f.
Gesuchte Ableitung: acos'(x) = −1/sin f = −(1 − x²)^−1/2.

Ableitung des Arcus Tangens:

Zusammenhang zwischen x und f : x = tan f.
Funktion: f(x) = atan x.
Inverse Funktion: x( f ) = tan f.
Ableitung der inversen Funktion: x'( f ) = tan'( f ) = 1/cos²f.
Gesuchte Ableitung: atan'(x) = cos²f = 1/(1 + x²).

Ableitung des Arcus Cotangens:

Zusammenhang zwischen x und f : x = cot f.
Funktion: f(x) = acot x.
Inverse Funktion: x( f ) = cot f.
Ableitung der inversen Funktion: x'( f ) = cot'( f ) = −1/sin²f.
Gesuchte Ableitung: acot'(x) = −sin²f = −1/(1 + x²).