Beweis von (24):
Da der natürliche Logarithmus die Inverse (Umkehrfunktion) der Exponentialfunktion zur Basis
e ist,
kann zur Berechnung die Ableitungsregel (15) verwendet werden.
Die einzelnen Berechnungsschritte sind:
- Zusammenhang zwischen x und f :
x = e f.
- Funktion:
f(x) = ln x.
- Inverse Funktion:
x( f ) = e f.
- Ableitung der inversen Funktion:
x'( f )
= ( e f )'
= e f
.
- Gesuchte Ableitung:
ln'(x)
= 1/e f
= 1/x.
Im vierten Schritt wurde verwendet, dass die Ableitung der Exponentialfunktion
bereits bekannt ist, siehe (21). Damit ist (24) bewiesen.