Um die Ableitung der Sinusfunktion zu berechnen, gehen wir von ihrem
Differenzenquotienten
sin(x
+ ε) − sin x
ε
aus. Seine geometrische Bedeutung geht aus der folgenden Skizze hervor
(für die Definition der Sinusfunktion siehe das Kapitel Winkelfunktionen):
Da der grüne Kreis den Radius 1
hat, ist
sin x
durch die Länge der orangefarbenen und
sin(x
+ ε)
durch die Länge der blauen
Strecke gegeben.
Die Länge s
= sin(x
+ ε) − sin x
ist deren Differenz. Der Differenzenquotient ist daher
s /ε.
Sehen wir uns die Verhältnisse näher an, indem wir den strichlierten Kreis
vergrößern:
Da alle Winkel im Bogenmaß zu verstehen sind, ist ε die
Länge des Kreisbogenstücks entlang der gelben Figur.
Strebt ε gegen 0,
so wird die gelbe Figur immer kleiner, und ihre Proportionen nähern sich diesem Dreieck an:
Daraus lesen wir ab:
cos x
= s /ε.
Das bedeutet, dass der Differenzenquotient für
ε → 0
gegen cos x
strebt. Damit ist (17) bewiesen.
(Die Beweisführung kann mit mehr Aufwand exakter gestaltet werden, aber wir wollen es dabei
belassen. Wir merken lediglich an, dass unsere Skizze für
0 < x < π/2
und
ε > 0
ausgelegt ist, das Resultat aber für alle reellen
x
gilt).
Um (18) zu beweisen, könnten wir in analoger Weise vorgehen.
Allerdings gibt es, da wir (17) bereits erledigt haben, eine bequemere Möglichkeit:
Wir differenzieren beide Seiten der Identität
sin2x
+ cos2x
= 1
nach x
und erhalten unter Verwendung von (17) und der Kettenregel (14)
Nachbemerkung:
Ein rein rechnerischer Beweis ergibt sich, wenn die Summensätze für die Sinus- und
Cosinusfunktion
sin(x + y)
= sin x cos y + cos x sin y
cos(x + y)
= cos x cos y − sin x sin y ,
die wir
im Kapitel Winkelfunktionen besprochen haben,
auf den obigen Differenzenquotienten der Sinusfunktion
(mit y = ε)
angewandt werden.
Der Beweis reduziert sich unmittelbar darauf, die Grenzwerte
sin ε
ε
=
1
lim
ε → 0
und
1
− cos ε
ε
=
0
lim
ε → 0
zu bestimmen. Der Vorteil der graphischen Argumentation liegt letzten Endes darin,
dies zu vermeiden. Intuitiv wird die Gültigkeit der beiden Formeln
klar, wenn wir diese Graphik betrachten:
Für kleiner werdendes ε
wird die gelbe Figur immer schmaler.
Vergleichen Sie auch unsere Bemerkungen über kleine Winkel im Kapitel
Winkelfunktionen.
