Einführung |
Die Differentialrechnung liefert ein Hilfsmittel zur Lösung von
Extremwertproblemen. Die Komplexität dieser Aufgaben für Schüler erklärt
sich zum kleineren Teil aus der Kenntnis oder Nichtkenntnis der elementaren
Zusammenhänge von Funktion, Ableitung und Nullstellen bzw. Vorzeichen von Ableitungen.
Die größere Schwierigkeit bieten die Aufgabenstellungen selbst. Extremwertaufgaben sind meistens Textaufgaben, die zuerst verstanden werden müssen. Die Anwendung der Methoden der Differentialrechnung ist erst möglich, wenn ein geeignetes mathematisches Modell der Aufgabe übersetzt worden ist. |
Im folgenden gebe ich einige Beispiele für Extremwertaufgaben.
Anhand dieser Beispiele möchte ich die allgemeine Lösungsmethode verdeutlichen und
auf die Behandlung möglicher Sonderfälle eingehen. Abgesehen davon, daß es eine
große Vielfalt weiterer Übungsaufgaben zum Thema gibt, die ich unmöglich alle
hier lösen kann, hoffe ich, daß genügend Beispiele vorhanden sind, mit denen der Leser
sich in den Stand setzen kann, solche Aufgaben zu lösen.
Zunächst formuliere ich das grundlegende Vorgehen Allgemeiner LösungsansatzExtremwertaufgaben, die als Textaufgaben formuliert sind, werden in folgenden Schritten gelöst:
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Bei Extremwertaufgaben gibt es immer eine Zielfunktion, deren Wert maximiert/minimiert werden soll und eine Nebenbedingung, die die Wahl der Variablen in der Zielfunktion beschränkt. |
Erstes Beispiel |
Mit einer vorhandenen Rolle Zaun (darauf sind 50 m) soll ein möglichst großes Stück Land rechteckig eingezäunt werden. |
Zielgröße ist die eingezäunte Fläche. Die Fläche eines
Rechtecks ist F=x*y, dabei stehen x und y für die Seitenlängen des
Rechtecks. F ist eine Funktion der Seitenlängen.
2x+2y = 50Meter Zaun (den Umfang des Rechtecks). Zwischen den scheinbar unabhängigen Variablen x und y besteht durch die Nebenbedingung eine Beziehung.
Nun könnte man versuchen Lösungen zu raten.
Stelle die Funktion der Fläche in Abhängigkeit von x auf: F(x) = x * y = x * ( 50 - 2x) /2Über die Ableitung F'(x) findet man mögliche lokale Maxima der Funktion F(x). F'(x) = 25 - 2xSuche Nullstellen von F': F'(x) = 0 = 25 - 2xWenn x=12,5 ist, dann ist y=12,5. Das folgt aus der Nebenbedingung. Die Fläche des Rechtecks ist F = 12,5*12,5 = 156,25 m2Das kann nun (im allgemeinen) ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum sein. Durch das Vorzeichen der zweiten Ableitung an der Stelle des lokalen Extremums erfährt man, ob es ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum ist. Da F''(x) = -2für alle x negativ ist, liegt an der Nullstelle der ersten Ableitung ein lokales Maximum vor. Darum ist x=12,5 ein guter Kandidat für eine Lösung.
Wieso nur ein guter Kandidat? Man muß untersuchen, ob es sich im Definitionsbereich für x wirklich um das absolute Maximum handelt.
Es könnte nämlich an den Rändern
des Definitionsbereiches für x noch größere
Werte geben. Man muß die Ränder gesondert untersuchen.
Anmerkung: Mathematiker sind sehr genau. Das belegt folgende Geschichte: |
Absolutes Maximum am Rand |
Bestimme das Maximum der Funktion f(x) = x3 - 2 x2 + 4 im Intervall [ -1, 4]. |
Die Ableitung f '(x) = 3 x2 - 4 x
hat die Nullstellen x = 0 und x = 4/3.
Die zweite Ableitung f ''(x) = 6 x - 4 nimmt für x = 0 einen negativen und für x = 4/3 einen positiven Wert an. Folglich liegt bei x=0 ein lokales Maximum und bei x=4/3 ein lokales Minimum vor. Hier ist der Graph dieser Funktion: Wie man sehen kann ist das lokale Maximum bei x=0 nicht das absolute Maximum im angegebenen Definitionsbereich. Für x=4 ist der Funktionswert deutlich größer. Die Differentialrechnung liefert diesen Wert nicht, sie liefert nur lokale Extrema. |
Manchmal genügt die zweite Ableitung nicht |
Bestimme das Minimum der Funktion f(x) = x4. |
Diese Aufgabe ist so einfach, jeder kennt die Lösung. Das Minimum liegt bei x = 0.
Hier der Funktionsgraph: Die erste Ableitung f '(x) = 4 x3 hat bei x = 0 eine (mehrfache) Nullstelle.
Eine Funktion mit waagerechter Tangente in x0, die links von x0 fällt und rechts von x0 steigt, hat in x0 ein lokales Minimum. Eine solche Funktion, die links von x0 steigt und rechts von x0 fällt, hat in x0 ein lokales Maximum. Eine solche Funktion, die auf beiden Seiten von x0 steigt bzw. fällt, hat in x0 kein lokales Extremum.
Für f(x) = x4 ist f '(x) = 4x³. An x=0 wechselt das Vorzeichen der 1. Ableitung von Minus nach Plus, d.h. bei x=0 hat f(x) = x4 ein (lokales) Minimum.
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Balken mit maximaler Tragfähigkeit |
Aus einem Baumstamm, der einen durchgängig gleich großen kreisförmigen Querschnitt hat, soll ein Balken mit rechteckigem Querschnitt von möglichst großer Tragfähigkeit herausgeschnitten werden. Die Tragfähigkeit ist proportional zur Balkenbreite und zum Quadrat der Balkendicke. In welchem Verhältnis müssen Dicke und Breite des Balkens zueinander stehen? |
Da ist ein Baumstamm in Form eines Zylinders mit Durchmesser d.
Wenn man daraus einen rechteckigen Balken sägt, dann hat dieser die Dicke a und die Breite b. Zeichnet man sich den Querschnitt des Balkens in den kreisförmigen Querschnitt des Zylinders, dann sieht man, daß a² + b² = d² zu sein hat. Das ist die Nebenbedingung. Anmerkung: Es wäre natürlich auch möglich kleinere rechteckige Querschnitte auszusägen, also nur a²+b²£d² zu verlangen. Da aber die Tragfähigkeit zu maximieren ist, und diese mit größerem a und größerem b wächst, kommt das nicht in Betracht. Man tut am besten, wenn man den Zylinderquerschnitt voll ausnutzt. Nun soll die Zielfunktion bestimmt werden. Die Aufgabe sagt, daß die Tragfähigkeit proportional zur Breite b und proportional zum Quadrat der Dicke a ist. Ohne den physikalischen Sinn dieser Aussage zu verstehen oder diskutieren zu wollen, stellt man daraus die Zielfunktion für die Optimierung auf, nämlich a²*b = maximal. Ich fasse zusammen: Zielfunktion: a²*b = maximalMit der Nebenbedingung ersetzt man eine der Unbekannten in der Zielfunktion. Ich nehme die Ersetzung von a² vor, weil ich damit Wurzeln vermeiden kann. Das ergibt die Funktion t der Tragfähigkeit in Abhängigkeit von der Breite b: t(b) = (d² - b²) * bDie Ableitungen von t(b) lauten: t '(b) = -3b² + d²Man setzt die Ableitung gleich 0: t '(b) = -3b² + d² = 0 <=> b² = d² / 3Die zweite Ableitung ist für alle in Frage kommenden positiven Breiten negativ. Das zeigt, daß an der Nullstelle der ersten Ableitung tatsächlich ein (lokales) Maximum vorliegt. Aus der Nebenbedingung errechnen wir den dazu gehörenden Wert für a (bzw. a²). a² = d² - d² / 3 = 2/3 d² In der Aufgabe ist für d kein konkreter Wert gegeben.
Es wird nach dem Verhältnis von a und b gefragt, also nach a/b.
Was ist dazu noch zu sagen:
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Säule aus Draht |
Aus einem Stück Draht, das 36 cm lang ist, soll eine "Säule" mit quadratischem Grundriß geformt werden. Welches ist das maximal mögliche Volumen der Säule? |
In dieser Aufgabe ist eine Länge gegeben (des Drahtes).
Wenn die Säule aus Draht geformt werden soll, ist wohl gemeint, daß mit dem Draht die Kanten der Säule gebildet werden sollen. Der Draht muß ausreichen, um daraus die Gesamtlänge aller Kanten zu bilden. Die Nebenbedingung lautet 8 a + 4 h = 36Die "quadratische" Säule hat eine quadratische Grundfläche a*a und eine Höhe h. Das Volumen soll maximiert werden. Wie lautet die Zielfunktion? Das Volumen einer Säule ist Grundfläche mal Höhe. Die Grundfläche ist a2, die Hühe h. Als Zielfunktion haben wir: V = a2 * hHinweis (weil die Frage schon mal kam): Hier eine Nebenbedingung mit der Oberfläche zu setzen, entspricht nicht der Aufgabe. Indem die Nebenbedingung 8a+4h=36 nach (z.B.) h aufgelöst und in die Zielfunktion eingesetzt wird, erhält man die Funktion des Volumens in Abhängigkeit von a: F(a) = a2 * (9-2a)Die Lösung lautet schließlich: a=h=3. Das Volumen der Säule ist maximal, wenn sie ein Würfel (Kubus) ist. Eine ähnliche Aufgabe gibt es auch mit der Quaderoberfläche als Nebenbedingung. |
Aus 36cm² Pappe soll eine quadratische Säule maximalen Volumens gebildet werden. |
Hier ist die Nebenbedingung die Oberfläche
F = 36 = 4ah+2a²=36 oder ah = (36-2a²)/4.Das eingesetzt in V ergibt: V = a²h = a * ah = a*(36-2a²)/4 = 9a-a³/2Ableitung: V'(a) = 9-3/2*a² = 0 => a=w(6) und h = w(6)Die Ergebnisse haben eins gemeinsam: in beiden Fällen ist a=h. Die quadratische Säule hat maximales Volumen, wenn sie ein Kubus ist. |
Maximales Rotationsvolumen |
Welches rechtwinkelige Dreieck mit der Hypotenuse c=6 cm erzeugt einen Doppelkegel größten Volumens, wenn man es um die Hypotenuse dreht? |
Antwort: Das gleichschenklige rechtwinklige Dreieck! |
Wo ist nun der "Doppelkegel", dazu noch ein Bild: Die folgende Skizze zeigt ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten a, b und c (blau) und den Hilfsgrößen x, y, z (schwarz). Jedes rechtwinklige Dreieck paßt in einen Halbkreis. Durch die Aufteilung der gegebenen Hypotenuse c=6 in die Abschnitte x und y ist im Halbkreis genau ein rechtwinkliges Dreieck bestimmt. Dieses hat die Höhe z.
Der durch Rotation des Dreiecks um die Hypotenuse entstehende Körper besteht aus zwei Kreiskegeln.
V = 1/3 pi * z² * x + 1/3 pi * z² * yDas ist eine Formel für das Volumen, die nicht von a, b oder c abhängt, sondern von einer Hilfsgröße z. Man könnte nun versuchen z durch a, b auszudrücken (Pythagoras), aber das ist hier nicht nötig - zum Glück, denn dadurch würde es vermutlich komplizierter. Wir gehen für den Moment dazu über, das optimale z zu bestimmen. Beginnen wir mit dem normalen Vorgehen:
Gibt es denn kein Maximum? Doch, natürlich gibt es eines. Das Volumen wird um so größer, je größer z ist. Kann denn z beliebig groß werden? Nein, z kann maximal gleich dem Radius des Halbkreises werden, in dem das Dreieck mit der Hypotenuse c=6 einbeschrieben ist. Der Radius dieses Kreises ist gleich c/2. Mit c=6 folgt, daß z maximal 3 sein kann.
Damit haben wir die Lösung.
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Polynom gesucht |
Eine Polynomfunktion hat ein Minimum an der Stelle x=2, ein Maximum an der Stelle x=-1; sie schneidet die x-Achse bei 1 und die y-Achse bei 2. Bestimme den Funktionsterm! |
Es ist kein Grad für das gesuchte Polynom gegeben. Wenn die Aufgabe so wie sie ist, vollständig ist, dann würde ich folgendes machen: Zähle die Anzahl der Bedingungen, die die ganzrationale Funktion erfüllen soll. Hier sind das 4 Bedingungen: Minimum, Maximum, schneidet x-Achse, schneidet y-Achse. Wenn 4 Bedingungen gegeben sind, dann benötigt man im allgemeinen ein Polynom dritten Grades f(x) = ax³ +bx² +cx +dMan hat dann 4 Unbekannte (a,b,c,d) und 4 Gleichungen. Das verspricht eine Lösung. Ein Polynom dritten Grades ist hier auch mindestens nötig, denn ein Polynom zweiten Graden hätte nicht zwei (verschiedene) Nullstellen der ersten Ableitung. Wegen der Bedingungen zu Minimum und Maximum muß es ja zwei Nullstellen der ersten Ableitung geben. Natürlich gibt es auch Polynome höheren Grades als 3, mit denen die gestellten Bedingungen erfüllt werden könnten. Dann hätte man bei einem Polynom vierten Grades 4 Gleichungen mit 5 Unbekannten. Das ist nicht die übliche Vorgehensweise in der Schule. Ich habe mich jetzt entschlossen, daß ein Polynom dritten Grades gesucht ist. Die Gleichungen, die sich aus den Angaben der Aufgabenstellung ergeben sind: f(x) hat zwei lokale Extremwerte bei x = 2 und x = -1.
f '(x) = 3ax2 + 2bx + cDas ergibt die Gleichungen f '( 2) = 12a+4b+c = 0 undAußerdem ist f(1)=0 und f(0)=2, also f(1) = a+b+c+d = 0 undNun kann man das Gleichungssystem selbst lösen. Die Lösung lautet schließlich:a + b + c + d = 0 d = 2 12a + 4b + c = 0 3a - 2b + c = 0 4 6 24 f(x) = -- x³ - -- x² - -- x + 2 13 13 13 |
Zylindrische Literdose |
Es soll eine zylindrische Literdose hergestellt werden. Dabei werden Grund- und Deckkreis aus dem umschriebenen Quadrat ausgeschnitten. Wie groß sind die Ausmaße zu wählen, wenn dabei möglichst wenig Blech verwendet werden soll und der Abfall beim Ausstanzen der Grund- und Deckfläche zum verbrauchten Material zählt. |
Es soll einschließlich Abfall minimiert werden. Da Deckel und Boden aus einem quadratischen Blech gestanzt werden, ist die Fläche des verwendeten Blechs: F = 2 * (2r)2 + 2*p*r*hDas Volumen der Dose soll 1 Liter betragen. Ein Liter ist 1 dm3, darum wähle ich als Einheit für alle Längen im folgenden Dezimeter (dm). Die Formel für das Volumen ist V = 1 = p r2 * hDaraus folgt durch Termumformung h*r=1/(p*r)Man erhält die Funktion der Fläche in Abhängigkeit vom Radius r. F(r) = 8 r2 + 2 / rDiese Zielfunktion ist zu minimieren. Das Ergebnis ist r=1/2, also 1/2 dm oder 5 cm. |
Eingeschlossene Fläche |
Die Funktion
f(x) = -a * x2 + bschließt im ersten Quadranten ein Rechteck mit der x und y Achse ein. Für welches x wird der Flächeninhalt maximal? |
Es ist ein Rechteck gesucht, dessen linke untere Ecke im Nullpunkt des Koordinatensystems liegt, und dessen rechte obere Ecke auf dem Graphen der gegebenen Funktion liegt.
Die rechte obere Ecke soll so gewählt werden, daß die Fläche des Rechtecks maximal wird. Diese Ecke hat die Koordinaten (x/y) mit y=-ax²+b
Die Fläche in Abhängigkeit von x ist F(x) = x * y = x * (-ax²+b) = -ax³+bx Diese Funktion der Fläche ist zu differenzieren. F'(x) = -3ax² + bMan findet im Definitionsbereich die positive Nullstelle: x = w(b/(3a))[die negative Nullstelle liegt nicht im ersten Quadraten]. Dieses x ist im zu betrachtenden Intervall (das ist gut), und es ist F''(x) = -6axDaher ist F''(w(b/(3a))) negativ, also ist bei x = w(b/(3a)) ein lokales Maximum. An den Rändern des Intervalls, in dem x nur liegen kann, sind die Flächenwerte 0, darum ist x=w(b/(3a)) in [0,w(b/a)] sogar ein absolutes Maximum. |
Acker neben Straße |
Ein Acker liegt an einer geradlinigen Straße. Ein Fußgänger befindet sich auf dem
Acker im Punkt A und möchte möglichst schnell zu einem Punkt B auf der Straße
gelangen. Der Fußpunkt C des Lotes von A auf die Straße hat von A die Entfernung
400m und die Entfernung B nach C betrage (a.) 1000m (b.) 100m. Auf der Straße kann sich der Fußgänger doppelt so schnell fortbewegen wie auf dem Acker. Welchen Weg soll er einschlagen? |
Der Weg des Fußgängers von A nach B besteht aus 2 Teilen (blaue Linien). Einem geraden Weg von A zu einem Punkt X auf der Straße. Dabei hat X die Entfernung x von C mit 0<=x<=1000, und als zweitem Teilstück den Weg von X nach B (auf der Straße).
f(x) = 2*y+(1000-x)[die 2 drückt aus, daß zurückzulegende Meter auf dem Acker doppelt zählen.] Mit der Nebenbedingung y = wurzel(4002+x2)ergibt sich: f(x) = 2*wurzel(4002+x2) + (1000 - x) = min!Die Ableitung der Funktion f(x) lautet f'(x)=2x/wurzel(4002+x2)-1. Als Lösung von f'(x)=0 findet man: x = wurzel(4002/3) = 230,94... Die Weglänge über den Acker beträgt darumch etwas mehr als 461,8 m.
Wenn aber der Abstand zwischen B und C nur 100m beträgt, dann
lautet die zu minimierende Funktion: f(x)=2*wurzel(4002+x2)+100-x.
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Scheitelpunkt einer Parabel |
Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel
f(x) = -1/2 x2 + 2x |
Der Scheitelpunkt einer Parabel ist ein Maximum oder Minimum. Dieses findet man, indem man die erste Ableitung 0 setzt. f'(x) = -x + 2 = 0 => x = 2Da außerdem f''(x) = 1für x=2 ungleich Null ist, handelt es sich wirklich um den Scheitelpunkt. |
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