Abstrakte Unterräume

Kreuze die richtige(n) Aussage(n) an!

V sei ein Vektorraum mit Dimension n

1. Es gibt einen Unterraum U von V, dessen Basis nicht zu einer Basis von V ergänzt werden kann.
   
2. Sei W ein Unterraum von V mit dim W >=1 (und dim W <= n).
   Die Basis von W kann dann mit Basisvektoren von V zu einer Basis von V ergänzt werden
3. Ein Unterraum U von V ist immer eine echte Teilmenge von V
4. Sei W ein Unterraum von V mit dim W >=1.
   Dann gibt es Vektoren in V, die eine Basis von W bilden
5. Fügt man die beiden Basen von zwei beliebigen Unterräumen (von V) zu einer Menge zusammen, so ist diese Menge eine Basis eines anderen Unterraums von V..
6. Sei n >=2
   Haben zwei Untervektorräume U und W (Dimensionen >=1) nur den Nullvektor gemeinsam, so ergibt die Vereinigung (als Menge betrachtet) wieder einen Vektorraum
7. Der Durchschnitt zweier Unterräume von V ist auf jeden Fall wieder ein Unterraum von V
8. Sei U einer Unterraum von V mit dim U = k.
   Sei W ein Unterraum von V mit dim W = m.
   Dann gilt: Die Dimension vom Durchschnitt von U und W ist sicher echt kleiner k, aber größer gleich 0.
9. Sei n >=3
   Dann gibt es einen Unterraum U und einen Unterraum W von V, sodass der Durchschnitt von U und W ein Unterraum von V ist, und dessen genau 2 ist.
10. Seinen U und W Unterräume von V.
    M sei die Menge, die man erhält, wenn man die Basisvektoren von U und W zusammenfügt.
    Dann gilt: die lineare Hülle von M ist ein Unterraum von V.
11. Sei W ein Unterraum von V mit dim W >=1.
    Dann gibt es immer Vektoren in W, die eine Basis von V bilden
12. Seien U und W Unterräume von V.
    Seien A und B jeweils eine Basis von diesen Unterräumen.
    Dann gilt: Die Vereinigung von A und B ist wieder eine Basis eines Unterraums von V

Unterräume des R²,R³

Kreuze die richtige(n) Aussage(n) an!

1. Jede Gerade im R² ist ein Unterraum des R²
2. Es gibt Geraden im R³, die keine Unterräume von Ebenen im R³ sind.
3. Jede Gerade im R³ ist eine Teilmenge einer Ebene, die ein Unterraum des R³ ist.
4. Es gibt nur abzählbar unendlich viele Geraden im R², die keine Unterräume des R² sind
5. Es gibt überabzählbar viele Geraden im R³, die Unterräume des R³ sind.
6. Geraden im R³ sind genau dann Unterräume des R³, wenn sie durch den Ursprung gehen.
7. Geht eine Ebene nicht durch den Ursprung, so ist sie sicher kein Unterraum vom R³
8. Eine Ebene, die durch den Ursprung geht, ist ein zweidimensionaler Unterraum, dessen Basis eindeutig bestimmt ist
9. Die lineare Hülle von zwei linear unabhängigen Vektoren des R³ ist eine Ebene im R³, die ein Unterraum ist.
10. Hat eine Ebene mit einer Geraden nur den Nullvektor gemeinsam, so ergibt die lineare Hülle der Vereinigung von beiden ganz R³.
11. Es gibt keine Geraden im R³, die nicht Obermenge einer Ebene im R³ sind

Direkte Summen:

Kreuze die richtige(n) Aussage(n) an!

1. Sei V = Rⁿ
   Die Summe zweier verschiedener Geraden, die Unterräume sind, ist immer eine direkte Summe.
2. Die Summe dreier paarweise verschiedener Geraden, die Unterräume sind, ist immer eine direkte Summe, die eine Ebene im Rⁿ ist
3. Eine Ebene und eine Gerade (beide Unterräume) im R³ können eine direkte Summe bilden, müssen aber nicht.
4. Es ist nicht unmöglich, dass vier paarweise verschiedene Geraden (alle Unterräume) des R³ eine direkte Summe bilden.
5. U, W seien Unterräume, U+W sei eine direkte Summe.
   Eine Basis von U+W erhält man z.B. dadurch, dass man eine Basis von U und eine Basis von W zu einer Menge zusammenfasst
6. Fügt man die Basen zweier Unterräume zu einer Menge zusammen, so erhält man immer eine Basis eines Unterraums.
7. Haben zwei Unterräume (ungleich {o}) nur den Nullvektor o gemeinsam, so ist die Summe direkt
8. Haben drei Unterräume nur den Nullvektor o gemeinsam, so ist die Summe direkt.