Bringe den Euklidschen Beweis der Irrationalität von √2 in die richtige Reihenfolge!
Der Beweis von Euklid ist gehörig durcheinander geraten.
Ergebnisüberprüfung
Der griechische Mathematiker Euklid (330-275 v.Chr.) verwendete für den Nachweis, dass √2 eine irrationale Zahl ist, einen indirekten Beweis. Dieses spezielle Beweisverfahren nimmt zunächst an, das Gegenteil der zu beweisenden Aussage sei wahr, und leitet daraus einen Widerspruch ab. Somit kann das Gegenteil der Aussage nicht richtig sein, d.h. die Aussage selbst muss richtig sein. Die Annahme, dass √2 eine rationale Zahl ist, muss also falsch sein: √2 ist irrational. Weiters kann argumentiert werden, dass p und q positiv sind und dass so weit wie möglich gekürzt wurde (d.h. p und q sind teilerfremd ). Wegen 1²=1 und 2²=4 muss √2 zwischen 1 und 2 liegen, d.h. 1<√2<2. Da √2 somit keine ganze Zahl ist, muss q≠1 sein, d.h. p/q ist eine echte Bruchzahl. Da p und q teilerfremd sind, kann auch dieser Bruch nicht weiter gekürzt werden, stellt also keine ganze Zahl dar. Daraus folgt aber aus der Gleichung, dass 2 keine ganze Zahl ist – ein offensichtlicher Widerspruch! Wir beginnen mit dem Gegenteil der zu beweisenden Aussage. Angenommen also, √2 ist eine rationale Zahl. Dann kann sie als Bruchzahl geschrieben werden, d.h. es gibt ganze Zahlen p und q, sodass √2=p/q gilt. Die obige Darstellung von √2 wird nun quadriert, was 2=(p·p)/(q·q) ergibt.