Es sei D Í C. Eine Funktion f: D ® C stellt eine Vorschrift dar, die jeder Zahl zÎD genau eine Zahl f(z)ÎC zuordnet:

(1)

Für komplexwertige Funktionen können Begriffe wie Stetigkeit, Ableitung, Differential, Grenzwert u.a. analog den entsprechenden Begriffen für reellwertige Funktionen eingeführt werden.
 

Visualisierung komplexwertiger Funktionen

Zwecks Veranschaulichung einer komplexwertigen Funktion betrachtet man die Abbildung des Definitionsbereiches D aus der z-Ebene in die w-Ebene. Um die Abbildungseigenschaften der Funktion f(z) detaillierter hervorzuheben, betrachtet man die Bilder verschiedener Kurven aus der z-Ebene (Koordinatenlinien oder geometrische Figuren) in der w-Ebene (s. Abb.1).

Die Trennung in Real- und Imaginärteil

(2)

erlaubt die Interpretation einer komplexwertigen Funktion als Vektorfeld

(3)

Aber auch jedes Vektorfeld (3) auf D kann als eine Funktion (2) interpretiert werden.
 

Wenn z eine komplexe Zahl ¹ 0 ist, so existiert:

(4)

Diese Funktion nennt man die Inversion w = z^-1. Aus der Gleichung (4) lässt sich leicht der Realteil und der Imaginärteil von w bestimmen. Bei der Inversion werden die Gitternetzlinien der z-Ebene in Kreise in der w-Ebene transformiert, wie man aus Abb. 2 sieht .

Beachtet man die exponentielle Darstellung komplexer Zahlen, so folgt aus:

(5)

Die Funktion setzt sich aus einer Spiegelung am Einheitskreis und der Spiegelung an der reellen Achse zusammen. Symbolisch sieht das so aus:

Und geometrisch veranschaulicht so (man beachte den Strahlensatz zur Bestimmung des Betrages von w₁):

Ein Punkt aus der oberen Halbebene ausserhalb des Einheitskreises wird mit f(z) = 1/z auf genau einen Punkt innerhalb des Einheitskreises in der unteren Halbebene abgebildet und vice versa. Punkte aus der unteren Halbebene innerhalb des Einheitskreises werden eineindeutig auf Punkte in der oberen Halbebene ausserhalb des Einheitskreises abgebildet. Punkte aus dem oberen Halbkreis des Einheitskreis wird ihr konjugiert komplexer Punkt auf dem unteren Halbkreis zugeordnet. Man ergänzt die Abbildung sinnvoller Weise mit f(0) = ¥ und f(¥) = 0.
 

Die Abbildung von Kreisen und Geraden

Von besonderem Interesse für diverse Anwendungen ist die Abbildung von Kreisen und Geraden durch f(z) = 1/z.

Jeder Kreis in der z-Ebene kann durch die Gleichung

(6)

in (x,y)-Koordinaten beschrieben werden. Löst man unter Beachtung von (4) die Bestimmungsgleichungen für Real- und Imaginärteil der Abbildung w = 1/z nach x und y auf, so erhält man:

(7)

Dies eingesetzt in (6), erhält man die Gleichung (6) in der w-Ebene in (u,v)-Koordinaten.

(8)

Wenn d = 0 und a = 0, so beschreibt (6) eine Gerade in der z-Ebene, die durch den Ursprung geht. In der w-Ebene ist das dann ebenfalls eine Gerade, die durch den Ursprung geht.

Allgemein lassen sich aus (6) und (8) folgende Regeln ableiten

• ein beliebiger nicht durch den Ursprung gehender Kreis in der z-Ebene wird mittels der Inversion in einen nicht durch den Ursprung gehenden Kreis in der w-Ebene abgebildet.
• ein durch den Ursprung gehender Kreis in der z-Ebene wird in eine Gerade in der w-Ebene abgebildet, die nicht durch den Ursprung geht.
• eine nicht durch den Ursprung gehende Gerade in der z-Ebene wird in einen durch den Ursprung gehenden Kreis in der w-Ebene abgebildet.
• eine durch den Ursprung gehende Gerade in der z-Ebene wird in eine durch den Ursprung gehende Gerade in der w-Ebene abgebildet.

Deshalb geht das Koordinatennetzgitter x + d = 0 und y + d = 0 wie schon gezeigt in die Kreise d(u² + v²) + u = 0 und  d(u² + v²) - v = 0 über. Setzt man d = -x₀ = -y₀ , so wandeln sich diese Gleichungen in x₀(u² + v²) - u  = 0 und y₀(u² + v²) + v  = 0. (s. Abb. 2)

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