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Um nun weitgehend auf die Darstellungsweise der reellen
Zahlen zurückzugreiffen, bedient man sich eines Kunstgriffes.
Man schreibt √-a2 =
√a2·(-1) = a·√-1
= a·i für a > 0
Da keine reelle Zahl existiert, deren Quadrat -1 ist,
erweitert man den Zahlenbegriff um die imaginäre Einheit i = √-1.
Diese Einheit führte L. Euler ein.
Es gilt also
d.h. für die imaginäre Einheit
Wie bisher bei Radikanden aus positiven Zahlen wird nur der
Hauptwert berücksichtigt.
Imaginäre Zahlen können alle reellen Vielfachen von i
annehmen, d.h. 3i, 78i, allgemein a·i, wobei a eine reelle Zahl ist.
Beachte !: Vor der Anwendung von Rechenregeln
imaginäre Zahlen immer als Produkt darstellen, das den Faktor i enthält, also
√-a = i·
√a
Deshalb gilt √-a·√-b =
i·√a·i·√b =
i2·√ab = (-1)·√ab =
-√ab
Beachtet man dies nicht, führt dies zu gravierenden Fehlern,
etwa derart
√-a·√-b
= √(-a)(-b) = √ab (falsch) !!!
Addition und Subtraktion imaginärer Zahlen sowie
Multiplikation und Division imaginärer Zahlen mit einer reellen Zahl haben
stets eine imaginäre Zahl als Ergebnis:
| 3i - 4i = -i |
pi + 2.23i =
( p+2.23)·i |
25·4i = 100i |
3i /-4 = -3/4i |
Das Quadrat einer imaginären Zahl ist
stets reell, ebenso das Produkt oder der Quotient imaginärer Zahlen.
| i2 = -1 |
3i·(-5i) = 15 |
3i /-4i = -3/4 |
Die Division durch eine imaginäre Zahl erfolgt
folgendermaßen
Das Ergebnis ist stets eine imaginäre Zahl.
Ein Produkt imaginärer Zahlen mit einer geraden Anzahl von
Faktoren ergibt eine reelle Zahl, mit einer ungeraden Anzahl von Faktoren eine
imaginäre Zahl.
Folgende (unterschiedliche) Potenzen von i kann man bilden:
| i0 = 1 |
i1 = i |
i2 = -1 |
i3 = i·i2 =
-i |
Daher folgt folgende Gesetzmäßigkeit
| i0
mod4
= 1, i1 mod4= i, i2 mod4 = -1, i3 mod4 = -i
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(3) |
Für negative n (n = -1,-2,-3,- 4 ...) gilt die Formel (3) ebenfalls:
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Wegen i-1 = -i gilt auch (i-1)2
= (-i)2 . Daraus folgt allgemein für negative
Potenzen von i
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wenn m=2n, so gilt (-i)m
=(-i)2n
=
+i2n
wenn m=2n+1, so gilt (-i)m
=(-i)2n+1 =
-i2n+1
(Vorzeichenregeln
für die Potenz von -i)
Weiterhin gilt
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