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Die Definition der komplexen Exponentialfunktion ez ist eine
Erweiterung der Defintion der Exponentialfunktion für reelle Argumente.
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(1) |
Daraus ergeben sich die Bestimmungen für Real-, Imginärteil, Betrag und Argument
Re ez = excosy, Im ez = exsiny ,
|ez| = ex und Arg ez = y.
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Arithmetische Eigenschaften
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Die wichtigsten Eigenschaften für Exponentialfunktionen gelten auch im Komplexen, wie z.B.:
Eine Eigenschaft ist besonders wichtig, da sie die komplexe von der reellen Exponentialfunktion
unterscheidet - die Periodizität.
Die Periodizität der Funktion f(z) = ez
Für die komplexe Exponentialfunktion gilt folgende Eigenschaft:
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(2) |
Dies ergibt sich aus folgendem Zusammenhang:
Die Periode der komplexen Exponentialfunktion beträgt 2pi. Diese Eigenschaft gibt es
im Reellen nicht.
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Eigenschaften der Abbildung w = ez
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Die Abbildung w = ez hat folgende Eigenschaften:
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Die Gerade
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x = x0 |
wird auf den Kreis um 0 mit dem Radius r = ex0
abgebildet |
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Die Gerade
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y = y0 |
wird auf den Strahl Arg w = y0 abgebildet |
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Der Streifen
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y0 < y < y0+2p
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wird umkehrbar eindeutig auf C\{0} abgebildet |
Geometrisch kann man diese Abbildungseigenschaften wiefolgt veranschaulichen:
Diese Abbildungseigenschaften sind für die Funktion w = ez keineswegs symmetrisch, denn Kreise in der
z-Ebene
werden keinesfalls in Geraden in der w-Ebene transformiert (wie im Fall der Inversion),
wie man aus der nächsten Abb. sieht.
Beachten Sie:
Aus der 2pi-Periodizität von w = ez folgt,
dass jeder Streifen der z-Ebene S = {x+iy; xÎÂ,
y0 < y < y0 +2pi}
umkehrbar eindeutig auf die gesamte z-Ebene ohne den Nullpunkt abgebildet werden
kann. Der Streifen F := {zÎC, -p
< Im z £ p}
heißt Fundamentalstreifen. Überlegen Sie, welche Bereiche des Fundamentalstreifens aus der z-Ebene durch
w = ez wohin in die
w-Ebene abgebildet werden.
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